In memoriam.- Homenaje del profesor Juan Bosco Romero Márquez a Miguel de Guzmán Ozámiz(1936-2004)

Problema 176.- Sea un triángulo ABC, rectángulo en A y no isósceles.

Sean los puntos B' y C' los simétricos de B y C, respectivamente, según el eje AH siendo H el pie de la perpendicular trazada desde A al lado BC.

Construimos los triángulos ABB' y A'CC' siendo A' tal que AB' sea paralelo a A'C, y A' sobre la recta AH.

Sean BF y C'F' las alturas de los vértices B y C' en BAB' y C'AC. Por F y F' tracemos FG y F'G' perpendiculares de F y F' sobre BC.

Probar que AH es media aritmética de los segmentos FG y F'G'.

Romero, J.B. (2004) Comunicación personal.

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca

Al ser AH bisectriz del ángulo B’AB y del ángulo CAC’ resulta que son iguales los ángulos CAB’ y C’AB, de donde se sigue que el ángulo B’AC’es recto, y, por consiguiente, BF es paralelo a AC’.

A y A’ están en la mediatriz de CC’ (y en la de BB’); A’C y AB’ son paralelas por construcción, por todo ello AB y A’C’ también son paralelas.

De la semejanza de los triángulos rectángulos B’FB y B’AC’ por una lado, y de CAB y CF’C’ de otro obtenemos las siguientes relaciones: y . BC =B’C’, BB’= BC-B’C y CC’ = BC+ B’C.

Sumándolas obtenemos , que demuestra que AH es la media aritmética de FG y F’G’. c.q.d.