Problema 179

En un el triangle rectangle .

Pel punt O del catet tracem la perpendicular a la hipotenusa .

Siga D la intersecció de la recta OH i la recta AC.

Siga E la intersecció de les rectes DB i OC.

Determineu el lloc geomètric del punt E al variar O sobre el catet .

André, M. Ph. (1920). Éléments de GÉOMÉTRIE Conformes aux programmes de baccalauréats (1re partie)

de l'enseignement secondaire classique et de l'enseignement secondaire moderne. Contenant plus de mille

problémés résolus et a resoudre.(Treinte-quatriéme edition). Paris, Librairie classique de FE André Guédon.

E. Andre Fils Succeseur, 6 rue Casimir-Delavigne (près l'Odeon). (p. 82)

Solució de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València):

Propietat d’un triangle rectangle:

a) La mitjana d’un triangle rectangle traçada a la hipotenusa és igual a la meitat de la hipotenusa.

b) Si un triangle una de les mitjanes és mesura la meitat del costat sobre la que està traçada, el triangle és rectangle.

Siga , , .

Demostrem que .

Considerem el rectangle ,

Considerem el rectangle ,

Aleshores, , per tant,

Els triangles , són semblants, per tant és rectangle.

Siga M el punt mig de la hipotenusa .

Per la propietat de la mitjana d’un triangle rectangle:

, El segment és sempre constat.

Aleshores el lloc geomètric del punt E al variar O sobre el catet és l’arc de circumferència de centre M i radi .