Problema 181

1.10   El lado AB en el triángulo ABC es mayor que AC, y D es el punto
medio de BC. Desde C dibujamos dos perpendiculares a la bisectrices
interior y exterior en el ángulo A encontrando a aquellas en F y G
respectivamente.
        Probar que :
       (i)   DF =(1/2)(AB-AC);
       (ii)  DG =(1/2)(AB+AC)

Aref, M.N., Wernick, W. (1968): Problems and  Solutions in Euclidean Geometry, Dover ,
New York , p.9-10

Solución de Maite Peña Alcaraz:

Sea ABC un triángulo cualquiera. AGCF forman un rectángulo. Si consideramos el rectángulo auxiliar AFC´G´ donde es evidente que C´ está sobre AB (ya que AF es la bisectriz de A) y C´B es igual a AB-AC ya que los dos rectángulos son iguales, entonces:

F es el punto medio de CC´, D es el punto medio de BC, luego FD es paralela a C´B y además mide la mitad, esto es FD=(AB-AC)/2

La primera parte entonces está demostrada. Demostremos ahora la segunda:

DF=(AB-AC)/2, FG=CA=AC (por ser las diagonales de un rectángulo. Basta demostrar entonces que DFG están alineados para probar que DG=DF+FG=(AB+AC)/2. Para probar esto basta demostrar que GF pasa por el punto medio de AC, lo cual es evidente ya que las dos diagonales de un rectángulo se cortan en su punto medio, es decir en el punto medio de AC. Como DF es paralela a BA, también pasa por el punto medio de AC,así que si DF y GF tienen dos puntos comunes son coincidentes.

Queda entonces demostrada la segunda parte también.