Problema 185

Dado un triángulo ABC, sean T y T' los puntos de tangencia de las circunferencia inscrita y exinscrita con BC. Demostrar que |TT'| =|b-c|

  Montes, J. (2004): Comunicación personal.

Solución de Maite Peña Alcaraz :

Por las fórmulas de Herón sabemos que Rex (radio de la circunferencia exinscrita) es igual a rp/(p-a) siendo r el radio de la inscrita y p el semiperímetro.

BT´=Rex/tg(90-B/2)=Rex tg(B/2)=rptg(B/2)/(p-a) y BT=r/tg(B/2).

| BT´-BT | =| rptg(B/2)/(p-a)- r/tg(B/2) | que tiene que ser igual a |b-c|. Sabiendo que p=(a+b+c)/2 y que rp=S luego r=(acsenB/2cosB/2)/p queda la fórmula del teorema del coseno con el coseno de B descompuesto en cos 2 B/2-sen 2 B/2 que evidentemente es igual a cosB.