Problema 189

Dado el triángulo ABC trazar una paralela a AB tal que divida el perímetro por la mitad.

Barroso, R. (2004): Comunicación personal.

Solución de Maite Peña Alcaraz :

Supongamos que la línea A´B´ es aquella que cumple el enunciado. Por tanto si BB´ es igual a x/2-j, AA´=x/2+j. Como ABC y A´B´C son proporcionales,

B´C/BC=A´C/AC (Por el teorema de Tales), y como B´C=x/2+y+j, A´C=x/2+z-j BC=x+y y AC=x+z y resolviendo el sistema en función de x, y y z y utilizando que x+y=a, x+z=b y y+z=c, obtenemos que j=c(a+b-c)/4(a+b)

Las medidas x, y z se pueden calcular averiguando la circunferencia inscrita, y el punto B´ dista de B haciendo los cálculos (a+b-c) 2 /4(a+b). Esta distancia se puede calcular solo por procedimientos gráficos sabiendo que para sumar y restar segmentos basta trasladarlos uno sobre otros y que dividir y multiplicar se puede hacer por la regla de Tales:

En el dibujo ab=c y c/a=b, luego colocando las medidas y haciendo paralelas podemos obtener la medida BB´ que luego trasladamos al triángulo con un compás.