Problema 190

Dado el triángulo ABC se traza una paralela a AB tal que divida el perímetro por la mitad.

Se traza otras paralelas a BC y CA con la misma condición. Estas tres paralelas conforman el triángulo MNP.

Demostrar:

a) MNP es homotético a ABC.

b) Estudiar el centro de homotecia U en en la ETC de Clark Kimberling.

Es decir, hallar con diez decimales la "altura" de U sobre el triángulo de lados

6 cm (horizontal) 9 cm (derecho) 13 cm (izquierdo) de Clark Kimberling,

y catalogarlo entre sus 2445 puntos del triángulo.

Barroso, R. (2004). Comunicación personal. (Con permiso de Clark Kimberling, a quien se agradece su gentileza)

Solución de José Martel Moreno, profesor emérito de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

El triángulo MNP se construye de acuerdo con el problema 189.
Dos triángulos cuyos lados son paralelos son siempre homotéticos como consecuencia del
teorema de Desargues sobre dos triángulos coplanarios. U es el centro de la homotecia.
Los cálculos para la determinación del índice ETC de U son los que siguen:

a+b+c=2p=28,00 cm

AC'=pc/(b+c)=7*13/11=8,2727272727

BA'=pa/(a+c)=14*6/19=4,4210526316

CB'=pb/(a+b=14*3/5=8,4000000000

x=UC=4,14 cm
y=UE=2,00 cm
z=UF=0,35 cm

Área (ABC)=23,66 cm²

k=2*Área(ABC)/(ax+by+cz)=1,0000000000

kx=4,1363575300 cm

Nº ETC=333