Para hallar la ecuación de la elipse de los baricentros necesitamos calcular puntos medios y baricentros:

PuntoMedio[{x1_, y1_}, {x2_, 
            y2_}] := {((x1 + x2)/2), ((y1 + y2)/2)};

Baricentro[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}, {x3_, 
            y3_}] := 
{((x1 + x2 + x3)/3), ((y1 + y2 + y3)/3)};

También usaremos la fórmula de una cónica que pasa por cinco puntos:

ConicaCincoPuntos[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}, {x3_, 
            y3_}, 
{x4_, y4_}, {x5_, y5_}] :=
Det[(({{(x^2), x y, (y^2), x , y , 1}, {(x1^2), x1 y1, (y1^2), x1 , y1 , 1}, {(x2^2), x2 y2, (y2^2), x2 , y2 , 1}, {(x3^2), x3 y3, (y3^2), x3 , y3 , 1}, {(x4^2), x4 y4, (y4^2), x4 , y4 , 1}, {(x5^2), x5 y5, (y5^2), x5 , y5 , 1}}))];

Ahora podemos calcular la ecuación de la elipse de los baricentros

ElipseBaricentros[p1_, p2_, 
          p3_]  := 
Module[{m1, m2, m3, g, g1, g2, g3, g4, 
            g5, g6}, 
{m1  :=   PuntoMedio[p2, 
                p3]; 
m2  :=   PuntoMedio[p3, 
                p1]; 
m3  :=   PuntoMedio[p1, 
                p2]; 
g     :=   Baricentro[p1, p2, 
                p3]; 
g1  :=   Baricentro[g,  p1,  
                m3]; 
g2  :=   Baricentro[g, p1,  
                m2]; 
g3  :=   Baricentro[g,  p2,  
                m1]; 
g4  :=   Baricentro[g, p2,  
                m3]; 
g5  :=   Baricentro[g,  p3,  
                m1]; 
g6  :=   Baricentro[g, p3,  
                m2]; 
ConicaCincoPuntos[g2, g3, g4, g5, 
              g6]
 }];

La aplicamos al triángulo de vértices {-1,0}, {1,0} y {u,v}

Factor[ElipseBaricentros[{-1, 0}, {1, 0}, {u, v}]]

Calculamos el circuncentro del triángulo de vértices {-1,0}, {1,0} y {u,v}

Mediatriz[{x1_, y1_}, {x2_, 
            y2_}]  := 
(x1 - 
                  x2) (x - ((x1 + x2)/2))  +  (y1 - 
                  y2) (y - ((y1 + y2)/2)) == 0;

Circuncentro[p1_, p2_, 
          p3_]  :=  Solve[
{Mediatriz[p1, p2], 
              Mediatriz[p1, p3]}, {x, y}][[1]];

Circuncentro[{-1, 0}, {1, 0}, {u, v}]

Factor[
      ElipseBaricentros[{-1, 0}, {1, 0}, {u, 
            v}]  /. 
Circuncentro[{-1, 0}, {1, 0}, {u, 
            v}]]

Altura[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}, {x3_, 
            y3_}]  := 
(x2 - x3) (x - 
                  x1)  +  (y2 - y3) (y - y1) == 
          0;

Ortocentro[p1_, p2_, 
          p3_]  :=  Solve[
{Altura[p1, p2, p3], 
              Altura[p2, p3, p1]}, {x, y}][[1]];

Factor[
      ElipseBaricentros[{-1, 0}, {1, 0}, {u, 
            v}]  /. 
Ortocentro[{-1, 0}, {1, 0}, {u, 
            v}]]

DeBaricentricasACartesianas[{u_, v_, 
          w_}, 
{xA_, yA_}, {xB_, yB_}, {xC_, yC_}] := 
      Factor[{x -> ((u xA + v xB + w xC)/(u + v + w)), 
            y -> ((u yA + v yB + w yC)/(u + v + w))} /. 
{a -> (Sqrt[(((xB - xC))^2) + (((yB - yC))^2)]), 
b -> (Sqrt[(((xC - xA))^2) + (((yC - yA))^2)]), 
c -> (Sqrt[(((xA - xB))^2) + (((yA - yB))^2)])}]

    

    Incentro[ptA_, ptB_, ptC_]  := 
        DeBaricentricasACartesianas[
{a, b, c}, ptA, ptB, 
          ptC];

    

    Factor[
      ElipseBaricentros[{-1, 0}, {1, 0}, {u, 
            v}]  /. 
Incentro[{-1, 0}, {1, 0}, {u, 
            v}]]