GERGONNE Y EL PROBLEMA DE CASTILLON

José María Pedret. Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona).

En el problema número 82 del Laboratorio Virtual de triángulos con Cabri II de RICARDO BARROSO CAMPOS, se propuso y resolvió el PROBLEMA DE CASTILLON.

 Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie, Nota XI.:

Resolvamos el problema abordado por Gergonne:

CIRCUNSCRIBIR, A UNA CÓNICA, UN TRIÁNGULO

CUYOS VÉRTICES ESTÉN SOBRE TRES RECTAS DADAS

0. INTRODUCCION

Este es el caso particular, para n=3, del problema general de circunscribir a una cónica un polígono de n lados y cuyos n=vértices estén sobre n rectas. Nosotros desarrollaremos el método para un polígono de n=4 lados. Una vez deducido el método, lo aplicaremos al caso n=3 y estableceremos la solución.

Supongamos que tenemos la cónica Γ y n=4 rectas r₁ ,r₂ , r₃, r_n=4. Supongamos ahora que queremos resolver el problema tanteando. Tomamos P₁ sobre r₁ y trazamos las tangentes desde este punto a la cónica, obtenemos los puntos de contacto T₀ y T₁ sobre Γ y el punto P₂ de intersección sobre r₂.

1. PASOS A SEGUIR

Polo y polar

El hecho de trazar tangentes desde puntos de una recta a la cónica tiene mucho que ver con los conceptos de POLO y POLAR que se introducen estudiando algunas propiedades de cuerdas de la cónica (si observamos la INTRODUCCION vemos que T₀ y T₄ determinan una cuerda de Γ).

El concepto de POLO lo veremos en el teorema 2.5 y el de POLAR en el teorema 2.6. Para establecerlos veremos primero cuatro teoremas auxiliares:

teorema 2.1

Recíproco de la definición de proyección entre haces de rectas. Util para determinar alineaciones.

teorema 2.2

A partir del SEGUNDO TEOREMA DE DESARGUES establecemos las propiedades armónicas de las diagonales del cuadrilátero.

teorema 2.3

Dual del SEGUNDO TEOREMA DE DESARGUES EXTENDIDO A LAS CONICAS. Involuciones a partir del cuadrilátero circunscrito y la cónica.

teorema 2.4

Corolario del TEOREMA DE BRIANCHON. Relación entre diagonales y cuerdas que unen los puntos de contacto de un cuadrilátero circunscrito a una cónica.

2. POLOS Y POLARES

Teorema 2.1

Cuando dos haces de cuatro rectas que se corresponden una a una, respectivamente, tienen sus razones dobles iguales (son homográficas), si una de las rectas coincide con su imagen, las tres rectas restantes del haz cortan a sus rectas correspondientes en el otro haz en tres puntos situados en línea recta.

(El teorema recíproco no es más que la definición de una proyección entre haces de rectas.)

Demostración 2.1

Sean O* y O’* los dos haces. Sean OA, OB, OC, OD (figura 2)las cuatro rectas de O* y O’A, O’B, O’C, O’D las cuatro rectas de O’* que les corresponden respectivamente. Supongamos que las rectas que coinciden son OA y O’A; entonces mostraremos que los puntos de intersección de cada recta con su correspondiente, B=OB∩O’B, C=OC∩O’C, D=OD∩O’D, están en línea recta.

Sean A=BC∩OO’, D₁=BC∩OD y D₁'=BC∩O'D. Como los dos haces son homográficos, conservan la razón doble; tenemos (OA, OB, OC, OD₁)=(O’A, O’B, O’C, O' D₁')y por lo tanto D₁=D₁' con lo que OD y O’D se cortan en BC.

Si recordamos ahora el SEGUNDO TEOREMA DE DESARGUES, resolución del problema 183,

sea un cuadrángulo ABCD y sea r una recta que no pasa por ninguno de sus vértices. Los lados opuestos del cuadrángulo cortan a r en puntos que se corresponden en una misma involución; podemos establecer el siguiente

Teorema 2.2

En todo cuadrilátero, las dos diagonales dividen armónicamente la recta que une los puntos de encuentro de los lados opuestos.

Demostración 2.2

La EXTENSIÓN DEL SEGUNDO TEOREMA DE DESARGUES A LAS CÓNICAS nos dice que: Cuando un cuadrilátero está inscrito a una cónica, una transversal cualquiera r encuentra a los dos pares de lados opuestos y a la cónica en tres pares de puntos homólogos en una involución de la recta r. Pero en este caso, nos interesa más el dual.

Teorema 2.3

(correlativo del segundo teorema de Desargues extendido a las cónicas)

Cuando tenemos un cuadrilátero circunscrito a una cónica, si desde un punto O trazamos rectas por los vértices y las dos tangentes a la curva, entonces esas tangentes y los pares de rectas por vértices opuestos del cuadrilátero, son rectas homólogas en una involución del haz O* de rectas concurrentes en O.

Demostración 2.3

Consideremos ahora el caudrilátero completo, definido por sus vértices opuestos (A,A’), (B,B’), (C,C’), cuyos cuatro lados son tangentes a una cónica (figura 3). Por O, trazamos las tangentes a la cónica, las cuales encuentran a lado A’BC en M, M’ y al lado A’B’C’ en los puntos N, N’. Los puntos de encuentro entre las tangentes AB’, AC’, OM, OM’ y las dos tangentes A’B y A’B’ definirán una homografía (basta recordar, (problema 182) ,el enunciado alternativo del teorema fundamental de las tangentes a una cónica: Los puntos de intersección de una tangente móvil con dos tangentes fijas son homográficos). Las rectas desde O a estos puntos formarán dos haces homográficos.

La homografía conserva la razón doble, (C, B, M, M’)= (B’, C’, N, N’)

y en el haz O* (OC, OB, OM, OM’)=(OB’,OC’,ON, ON’)=(OB’, OC’, OM, OM’)

permutando (OB’, OC’, OM, OM’)=(OC’, OB’, OM’,OM)

de lo que se deduce (OC, OB, OM, OM’)=(OC’, OB’, OM’,OM)

entonces (OB, OB’), (OC, OC’), (OM, OM’) están en involución como vimos en el problema 183 al demostrar el segundo teorema de Desargues.

Vemos que OM y OM’ también son rectas homólogas en la involución definida por los pares (OB, OB’) y (OC, OC’); propiedad que también atañe a (OA, OA’).

Concluímos que los pares de rectas (OA, OA’),(OB, OB’),(OC, OC’),(OM, OM’) son pares de rectas homólogas de dos haces en involución.

Si recordamos ahora el TEOREMA DE BRIANCHON

Cuando un hexágono está circunscrito a una cónica, las diagonales que unen los vértices opuestos pasan por un mismo punto; y si en un cuadrilátero circunscrito a una cónica, consideramos los puntos de contacto de dos lados opuestos como dos vértices de un hexágono circunscrito, se deduce el

Teorema 2.4

(corolario del teorema de Brianchon)

En un cuadrilátero circunscrito a una cónica (figura 4), las rectas que unen los puntos de contacto de los lados opuestos pasan por el punto de encuentro de las dos diagonales.

Después de estos cuatro primeros teoremas ya tenemos lo necesario para atacar la definición de POLAR de un punto.

Teorema 2.5 (polar de un punto)

Cuando varias cuerdas de una cónica pasan por un mismo punto:

primero

Los puntos de encuentro de las rectas que unen dos a dos los extremos de dos cuerdas cualesquiera están sobre una misma recta.

segundo

Las tangentes a los extremos de cada cuerda se cortan sobre esta recta.

tercero

Esta recta es el lugar de los puntos conjugados armónicos del punto de encuentro de las cuerdas con respecto a los extremos de cada cuerda.

Demostración 2.5

Sean AA’, BB’ dos cuerdas y S su punto de encuentro (figura 5). Probemos primero que los puntos M, N intersección de las rectas que unen los extremos de estas dos cuerdas y el punto T de encuentro de las tangentes por los extremos A, A’, de una de las cuerdas, son tres puntos en línea recta.

Como son puntos y tangentes de la misma cónica, el haz de rectas AT, AB, AB’, AA’ es homográfico al haz A’A, A’B, A’B’, A’T lo cual supone la igualdad de razones dobles

(AT,AB,AB’,AA’)=(A’A,A’B,A’B’,A’T)=(A’T,A’B’,A’B,A’A),

de donde AA’ coincide con su imagen A’A y por tanto, según el teorema 2.1 los puntos T=AT∩A’T, N=AB∩A’B’, M=AB’∩A’B están en línea recta.

Teniendo ahora en cuenta el teorema 2.2, para el cuadrilátero AMA’N, la intersección de las diagonales C=AA’∩MN es el conjugado armónico con respecto a los vértices A y A’ del punto S en el que la recta, que une los puntos de encuentro de los lados opuestos del cuadrilátero B,B’, encuentra a la diagonal AA’.

La recta MN se determina por medio de una sola cuerda AA’, ya que pasa por T punto de encuentro de las tangentes por A y A’ y por C, conjugado armónico de S respecto a A y A’.

La recta MN es la POLAR del punto S y el punto, a su vez, POLO de la recta.

Las rectas desde el polo a un punto de encuentro de la polar con la cónica es la tangente a la cónica en ese punto; si no fuera tangente, tendría otro punto diferente de encuentro con la cónica y el conjugado armónico de S respecto a estos dos puntos no sería el supuesto.

Determinación de la polar de un punto S.

Visto lo precedente podemos establecer 5 maneras distintas de hacerlo:

primera manera (figura 6)

Trazando por S dos transversales a la cónica y trazando, en cada una, el conjugado armónico de S con respecto a los dos puntos en que cada una de la rectas encuentra la cónica: la recta que une los dos puntos así determinados es la polar.

segunda manera (figura 7)

Trazando las tangentes por los puntos de intersección de cada transversal con la cónica; los puntos de encuentro de cada par de tangentes están sobre la polar.

tercera manera (figura 8)

Uniendo dos a dos los puntos los puntos de encuentro de las transversales y la cónica por medio de rectas; los puntos de encuentro de estas rectas están en la polar.

cuarta manera (figura 9)

Con una sola transversal; el conjugado armónico de S con respecto a los puntos de encuentro de la transversal con la cónica y el de intersección de las tangentes en dichos puntos determinan la polar.

quinta manera (figura 10)

Trazando por S dos tangentes a la cónica; la recta que une los dos puntos de contacto es la polar.

Teorema 2.6 (polo de una recta)

Si, por cada punto de una recta s, se trazan dos tangentes a una cónica y sea c la conjugada armónica de s con respecto a las dos tangentes:

primero

Todas las rectas c pasan por un mismo punto S.

segundo

Las diagonales del cuadrilátero formado por las cuatro tangentes desde dos puntos de la recta s pasan por S.

tercero

Las cuerdas que unen los puntos de contacto de las tangentes trazadas desde cada punto de la recta s pasan también por S.

cuarto

El punto S es el polo de la recta s.

Demostración 2.6 (figura 11)

Sea ABCD el cuadrilátero formado por las tangentes a la cónica desde dos puntos E y F de la recta s. Demostraremos que si por I, otro punto de s, trazamos la recta conjugada armónica c de s respecto a las dos tangentes trazadas por I, c pasará por S el punto de encuentro de las diagonales de ABCD.

Las dos tangentes desde I y las dos rectas desde este punto a los vértices opuestos (A,C) del cuadrilátero definen una involución teorema 2.3, en la que la recta IE=s es doble. Esta y la otra recta doble son conjugadas armónicas con respecto a las dos rectas IA, IC. Ya que en el cuadrilátero ABCD, los vértices opuestos A, C son conjugados armónicos respecto a los al punto S y al punto S’ donde la diagonal AC encuentra a la recta EF=s (teorema 2.2). Esta recta IS y la primera IE son conjugadas armónicas respecto a las dos tangentes a la cónica. Esto demuestra el primer apartado.

Como el punto, por el cual pasan todas las rectas c, es punto de encuentro de las diagonales del cuadrilátero formado por las tangentes por dos puntos arbitrarios de s; hemos probado el segundo apartado.

El tercer apartado es consecuencia del segundo; ya que si E, F llegan a confundirse, una de las diagonales del cuadrilátero se convierte en la cuerda de contacto de sus dos lados por el punto E. Además ya se ha visto que (teorema 2.4), en el cuadrilátero circunscrito, las rectas que unen los puntos de contacto de los lados opuestos pasan por el punto de encuentro de dos diagonales.

Que s es la polar de S se obtiene del hecho de que las tangentes a la cónica por los extremos de las cuerdas por S se cruzan en E, F, ... sobre la recta.

Cuando la recta s corta a la cónica en dos puntos, el polo de la recta es el punto de encuentro de las tangentes por esos puntos.

Determinación del polo de una recta s.

Visto lo precedente podemos establecer 5 maneras distintas de hacerlo:

primera manera (figura 12)

Si Trazamos por dos puntos de s las tangentes a la cónica, las conjugadas armónicas de s, con respecto a cada par de tangentes, se encuentran en el polo buscado.

segunda manera (figura 13)

El punto de encuentro de las dos diagonales del cuadrilátero formado por las cuatro tangentes es el polo buscado.

tercera manera (figura 14)

El punto de encuentro de las dos cuerdas de contacto de los dos pares de tangentes es el polo buscado.

cuarta manera (figura 15)

Se trazan desde un solo punto de la recta las dos tangentes a la curva y la conjugada armónica de s respecto estas tangentes. El punto de encuentro entre esta conjugada armónica y la cuerda que une los puntos de contacto es el polo S.

quinta manera (figura 16)

Por último, si por los puntos de encuentro de la recta con la cónica trazamos las tangentes, éstas se encuentran en el polo.

3. INVOLUCION DE UNA CONICA SOBRE SI MISMA

Homografía en el plano

Aunque podríamos aprovechar que la recta proyectiva y la cónica son isomorfas, apéndice al problema 137, y por lo tanto aplicar lo conocido para la recta proyectiva a la cónica; el estudio se hará directamente en el plano. Veremos que la involución de una cónica sobre sí misma es una homología (armónica) y ello nos llevará a la caracterización de las involuciones de una cónica sobre sí misma que nos permitirá resolver el problema original.

Recordamos que una homografía del plano es una biyección del plano sobre sí mismo que conserva la razón doble.

Homología en el plano, (resolución del problema 167)

Recordemos que una homografía plana, en la que existe una recta s de puntos fijos y S* un haz de rectas fijas concurrentes en un punto S, recibe el nombre de homología de eje s y centro S.

Teorema 3.1

Sea ahora AA’ y BB’ dos pares de puntos homólogos en una homología de centro S y eje s. Si A"= AA’∩ s y B"= BB’∩ s entonces se cumple la igualdad de razones dobles

(A, A’, S, A")=(B ,B’, S, B")

Esta razón doble constante se denomina invariante homológico.

Demostración 3.1

Tomando el haz de rectas O*, O=AB∩A’ B’, vemos (figura 17) que por ser una homología, entonces el punto O está sobre la recta s y

(OA’,OA",OA,OS)=(OB’,OB",OB,OS)

lo que significa que (OA,OA’,OS,OA")=(OB,OB’,OS,OB")

y de aquí (A, A’, S, A")=(B, B’, S, B").

Si (A, A’, S, A")= -1, la homología se llama armónica.

Involución en el plano

Una homografía plana h, que se supone no idéntica, tal que h=h^-1 es una involución.

Teorema 3.2

Toda involución del plano es una homología armónica y recíprocamente

Demostración 3.2

(directo) Si observamos la homología h del apartado anterior suponiéndola armónica y considerando los puntos A, A’, S, A", vemos que h(A)=A’, S es un punto fijo y A" es otro punto fijo pues se halla sobre el eje se homología que es una recta de puntos fijos y como la homología deja invariante la recta SA", y tiene dos puntos fijos en ella, y como

(S, A",A, A’)=-1 (por ser armónica);

y además según hemos visto en el problema 183, esta razón doble define una involución σ de puntos dobles S y A" y σ(A)=A’ y por tanto h=σ.

(recíproco) Sea ahora una involución σ distinta de la identidad, entonces es seguro que existe una recta r que no coincide con σ(r). Podemos pues encontrar dos puntos A, B cualesquiera del plano con σ(A)=A’ y σ(B)=B’ que no están sobre la recta AB. Sea S=AA’∩BB’, O=AB∩A’B’ y O’=AB’∩A’B (figura 18). Sea h la homología de centro S y eje OO’=s que transforma A en A’. Entonces σ y h coinciden en cuatro puntos A, A’, B, B’ y por lo tanto σ=h.

Homografía de una cónica sobre sí misma

Denominamos homografía de una cónica sobre sí misma a una biyección de Γ→Γ que deja invariante la razón doble de cuatro puntos cualesquiera de Γ.

Es fácil demostrar, ver Sidler Géométrie projective..., que toda homografía plana que deja invariante una cónica Γ define por restricción una homografía de Γ. Recíprocamente, toda homografía de Γ se prolonga de manera única en una homografía plana que deja Γ invariante.

Teorema 3.3 (Eje de homografía de una cónica sobre sí misma)

Sea h_Γ una homografía de una cónica sobre sí misma. A, B dos puntos distintos de la cónica y A’ y B’ sus imágenes. AB’ ∩ BA’ está en una recta fija que recibe el nombre de eje de homografía.

Los puntos fijos de la homografía son los de intersección del eje de homografía con la cónica.

Demostración 3.3

Sea A un punto de Γ distinto de su imagen homográfica A’ y sea B un punto cualquiera de la cónica y B’ su imagen por la homografía. La correspondencia entre haces de rectas h*:A’*→A* con h*(A’B)=AB conserva la razón doble y por tanto es una homografía. En esta homografía h*(A’A)=AA’ y de acuerdo con el teorema 2.1 el lugar de los puntos de intersección AB’∩A’B es una recta.

Teorema 3.4 (Centro de homografía. Dual del teorema 3.3)

Sea h_Γ* una homografía de la cónica sobre sí misma y a, b dos tangentes distintas de la cónica y a’ y b’ sus imágenes. La recta que une los puntos a∩b’ y b∩a’ pasa por un punto fijo que recibe el nombre de centro de homografía.

Construcción de la imagen de un punto de la cónica por la homografía.

Dado el eje de homografía u y un punto A de Γ con imagen A’, para todo punto B de Γ el teorema 3.3 nos proporciona un método par obtener B’=h_Γ(B). Obtenemos U=BA’∩u entonces B’=BU∩Γ. (Ver figura 19).

Hallar los puntos dobles de la homografía de una cónica sobre sí misma.

Si, en el párrafo anterior, U está sobre Γ, será A=U=A’=u∩Γ y por lo tanto los puntos dobles son los de intersección del eje de homografía u con la cónica Γ.

Relación con la polaridad

Como (Demostración 2.5) la polar de un punto de Γ es la tangente en ese punto, vemos que el eje de homografía es la polar del centro de homografía y el centro de homografía el polo del eje de homografía. (Si observamos la quinta manera de determinar el polo de una recta, vemos que las tangentes en los puntos de intersección de la polar se cortan en el polo; por tanto, las tangentes en en los puntos dobles se cortan en el centro de homografía.)

Estamos ahora en disposición de ver la involución de una cónica sobre sí misma.

Involución de una cónica sobre sí misma

Se dice que una homografía σ_Γ:Γ→Γ de una cónica sobre sí misma es una INVOLUCION si es distinta de la identidad y si (σ_Γ◦σ_Γ) es la aplicación idéntica de Γ (es decir σ_Γ^-1=σ_Γ).

Si σ_Γ es una involución, entonces P'=σ_Γ(P) y P=σ_Γ(P'). Se dice que la involución intercambia los puntos P y P' o que P y P' son homólogos en la involución σ_Γ.

Esta involución σ_Γ de la cónica, como homografía, está subordinada (como hemos dicho) a una homografía σ del plano que deja invariante a la cónica Γ. Considerando la homografía plana σ, las rectas que unen puntos homólogos de la cónica (figura 20) serán rectas fijas (se transforman en sí mismas). Al mismo tiempo, las rectas homólogas se encuentran también en puntos fijos. Pero la homografía que posee una infinidad de rectas fijas y de puntos fijos es una homología.

Por lo tanto, las rectas que unen los puntos homólogos de la involución pasarán por el centro de homología U y las rectas homólogss se encuentran en el eje de la homología u (figura 20); pero eso es una de las manera de determinar que u es la polar de U (teorema 2.5). Deducimos que el eje de homología u es la polar, respecto a la cónica Γ, del centro de homología U. Esta es pues la homología armónica (teorema 2.5 tercero y demostración 3.1) que se identifica con la involución (teorema 3.2)

De lo anterior, podemos concluir el siguiente

Demostración 3.5 (figura 20)

La identificación de involución y homología está establecida en el teorema 3.2.

Si σ_Γ(A)=A’ y σ_Γ(B)=B’ son pares de puntos homólogos en la involución (situados en las rectas que pasan por U), las rectas AB’ y BA’ las rectas AB y A’B’ se encuentran sobre el eje de homografía quedando así determinado dicho eje. Pero esos mismos puntos se encuentran sobre el eje de homología u y lo determinan. Deducimos que el eje de homografía de la involución coincide con el eje de la homología armónica correspondiente.

Correlativamente, U (polo de u) es además el centro de homografía.

Y de aquí deducimos directamente los siguientes corolarios (duales entre sí):

COROLARIO 3.6

Los pares de puntos, de una cónica Γ, SITUADOS SOBRE RECTAS QUE PASAN POR UN PUNTO FIJO (será el centro de homografía de la involución) DETERMINAN UNA INVOLUCIÓN σ_Γ:Γ→Γ DE LA CÓNICA SOBRE SÍ MISMA.

COROLARIO 3.7 (dual del 3.6)

Los pares de tangentes, auna cónica Γ, QUE SE CORTAN SOBRE LOS PUNTOS DE UNA RECTA FIJA (será el centro de homografía de la involución) CONSTITUYEN UNA INVOLUCION σ_Γ:Γ*→Γ* DE LA CONICA SOBRE SI MISMA.

(Γ* es la cónica envolvente de tangentes, dual de Γ lugar de puntos)

4. DETERMINACION DE LA HOMOGRAFIA

Teorema 4.1

Cuando un polígono de n lados, cuyos n vértices deslizan sobre n rectas fijas cualesquiera, tiene todos sus lados, excepto uno, tangentes a una cónica, si por los dos vértices situados sobre este último lado se llevan dos tangentes a la cónica, los puntos de contacto definen una homografía de la cónica sobre sí misma.

Demostración 4.1

Retomando la figura 1 de la INTRODUCCION, consideremos el cuadrilátero (n=4) de vértices P₁, P₂, P₃, P_4=n en el que los tres (n-1) lados P₁P₂, P₂P₃, P₃P₄ deslizan tangentes a una cónica. Demostremos que existe una homografía h_Γ:Γ→Γ de la cónica sobre sí misma tal que h_Γ(T₀)=T_4=n, siendo T₀ y T_4=n los puntos de contacto a los que se refiere el teorema (figura 21).

Si consideramos los n-1 primeros puntos de contacto T₁, T_{2 y} T_3=n-1 de los lados P₁P₂, P₂P₃, P₃P_4=n con la cónica Γ, podemos concluir que si desplazamos P₁ sobre r₁ la cuerda T₁T₀ gira en torno a R₁ (figura 22) que es el polo de la recta r₁ respecto a la cónica (teorema 2.6 tercero) y aplicando el COROLARIO 3.6, como R₁ es fijo, T₁ y T₀ definen una involución σ_1Γ:Γ→Γ de la cónica sobre sí misma con σ_1Γ(T₀)=T₁.

Del mismo modo definiremos

5. SOLUCION PARA EL TRIANGULO (n=3)

5.1 Determinación de la homografía

figura 23

Determinamos una homografía h_Γ:Γ→Γ de una cónica Γ sobre sí misma por medio de tres puntos de Γ distintos T₀, T’₀, T”₀ y sus imágenes T₃, T’₃, T”₃.

Procederíamos como en la INTRODUCCION, trazaríamos las tangentes y obtendríamos los puntos de contacto.

Pero hay un camino mucho más fácil; esta homografía, como hemos visto, es composición de involuciones con centro de involución en el polo de la recta correspondiente.

Hallados entonces los polos R₁, R₂ y R₃ respecto a la cónica Γ de r₁, r₂ y r₃, para obtener la imagen por la homografía de un punto de la cónica:

a

basta tomar un punto T₀ sobre Γ

b

y hallar σ_1Γ(T₀)=T₁=T₀R₁∩Γ,

c

luego T₂=T₁R₂∩Γ

d

y T₃=T₂R₃∩Γ. Igualmente hallamos T’₃ imagen de T’₀ y T”₃ imagen de T”₀.

5.2 Determinación de los puntos fijos. Eje de homografía

figura 24

Dada la homografía h_Γ:Γ→Γ de una cónica Γ sobre sí misma, los puntos T₀ de Γ, tales que h_Γ(T₀)=T₀, se denominan puntos fijos o dobles y como hemos visto son los de intersección entre el eje de homografía u y la cónica Γ.

Habrá pues cero, uno o dos puntos fijos, según el eje no corte, sea tangente o corte a la cónica. (Existe casos con infinitas soluciones)

Para seguir con la solución hallaremos el eje de homografía u siguiendo los pasos detallados en el teorema 3.3

e

hallamos U₁₌T₀T₃'∩T₃T₀'

f

hallamos U₂₌T₀T₃"∩T₃T₀"

g

luego u=U₁U₂

h

(F₁, F₂ )=u∩Γ son los puntos fijos buscados.

5.3 Determinación de los triángulos solución

figura 25

Para hallar el primer triángulo partimos del primer punto fijo F_1.

i

trazamos la tangente t₁ por F₁

j

hallamos V₁=t₁∩r_{1 y} V₃=t₁∩r₃

k

ahora trazaríamos la tangente a la cónica Γ desde V₁; pero es más fácil hallar F₁R₁∩Γ

l

en lugar de la tangente mencionada trazamos desde V₁ la recta por F₁R₁∩Γ

m

hallamos V₂ en su intersección con r₂

n

uniendo V₁, V₂ y V₃ obtenemos el primer triángulo

0

análogamente a partir de F₂ obtendríamos V’₁, V’₂ y V’₃

6. UNA CONFIGURACION QUE COMPORTA INFINITAS SOLUCIONES

7. CONCLUSIONES