LA CÓNICA DE LOS NUEVE PUNTOS

Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León de Salamanca

1.- Presentación del problema.

Es conocida la propiedad de la circunferencia llamada de Euler, de Feuerbach o de los nueve puntos. Esta extraordinaria circunferencia pasa por los pies de las medianas de un triángulo, por los pies de sus alturas y por los puntos medios de los segmentos que el ortocentro determina con cada uno de los vértices. Los nueve puntos por los que pasa esta circunferencia quedan determinados pues, dando los tres vértices del triángulo y el ortocentro H del mismo: un cuadrivértice. ¿Qué ocurrirá si se sustituye el ortocentro H por el circuncentro O, por el incentro I o por el baricentro G, manteniendo todo lo demás? ¿Y si en lugar de un punto destacado del triángulo, ponemos un punto S cualquiera, con la única condición de no estar sobre los lados del triángulo? ¿Seguirá habiendo una circunferencia que pase por los nueve puntos destacados?

En las figuras siguientes, con ayuda de cabri, hemos podido ver lo que sucede: Para el circuncentro y el incentro obtenemos sendas elipses pasando por esos nueve puntos destacados; para un punto arbitrario S obtenemos una hipérbola (si el punto es exterior al triángulo) o una elipse (si es interior). Lo observado nos hace inducir que dados un triángulo y punto más que no yace sobre él, existe siempre una cónica ─no una circunferencia─que pasa por nueve puntos destacados. De ser eso cierto, ¿qué propiedad podríamos encontrar que definiera globalmente esos puntos?

Para intentar responder a esta pregunta tomemos uno de esos puntos, G.

Si tomo el simétrico del punto S, respecto de G ─punto medio del segmento PQ─ construyo el paralelogramo PTQS. Con los puntos P, Q, R, S y T puedo construir una única cónica, de la cual el punto G es su centro, pues las diagonales del paralelogramo contenido en ella, son diámetros de la cónica. (Ver más adelante teorema sobre paralelogramo inscrito en una cónica)

La conjetura, a partir de esto, es que los puntos de esta cónica de los nueve puntos sean centros de las cónicas que pasan por los vértices del cuadrivértice PQSRS. Así pues, postulamos:

El lugar geométrico de los centros de las cónicas que pasan por los vértices de un cuadrivértice PQRS es otra cónica. Esa cónica pasa por los puntos medios de los lados del cuadrivértice y también por los puntos de intersección de los pares de rectas PQ y SR, PR y SQ, y QR y SP ( triángulo diagonal ABC).

Sabemos que el centro de una cónica es el polo de la recta del infinito de dicha cónica. Intentando generalizar más todavía la propiedad intuida empíricamente, podemos dar un enunciado de mayor alcance, del cual, el anterior es un caso particular. Es el siguiente:

2.- Enunciado preciso.

Dados un triángulo PQR , un punto S que no yace sobre ningún lado y una recta m que no pasa por ninguno de los cuatro puntos anteriores, el lugar geométrico de los polos de m respecto a las cónicas que pasan por los cuatro puntos, es otra cónica.

Esta cónica pasa por nueve puntos destacados:

-En cada lado del cuadrivértice PQRS: el conjugado armónico de cada lado y el punto de intersección de m con el lado.

-Los 3 vértices del triángulo diagonal de este cuadrivértice.

Esa cónica es conocida como la cónica de los nueve puntos asociada al cuadrivértice y a la recta m.

Habitualmente, al hablar de cónica de los nueve puntos, se suele hacer referencia al lugar geométrico de los centros: el obtenido tomando como recta m la recta del infinito del plano.

Antes de pasar a la demostración necesitamos establecer unos resultados.

3.- Requisitos teóricos previos.

Teorema de Varignon.

Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero determinan un paralelogramo cuyos lados son paralelos a las diagonales..

En efecto, en el triángulo PQR, EF es paralelo a PR (es una paralela media). Por idéntica razón en el triángulo PSR, HG es paralelo a PR y, en consecuencia, EF y HG son paralelos.

Del mismo modo se demuestra el paralelismo del otro par de lados. El paralelogramo resultante tiene sus lados paralelos a las diagonales del cuadrilátero.

Cuadrivértice

Son cuatro puntos ABCD no alineados tres a tres. Es equivalente a dar los vértices de un triángulo y un cuarto punto no situado en ninguno de sus lados.

Los cuatro puntos del cuadrivértice son llamados vértices. Las seis rectas de unión de los vértices dos a dos se llaman lados; llamándose opuestos aquellos lados que no concurren en el mismo vértice. Son opuestos AC y BD, BC y AD, AB y CD. Los puntos P, Q y R de intersección de los tres pares de lados opuestos se llaman puntos diagonales del cuadrivértice y forman el triángulo diagonal del mismo.

Un cuadrivértice tiene, pues, cuatro vértices, seis lados y tres puntos diagonales.

Cuaterna armónica sobre un lado del cuadrivértice.

En un cuadrivértice ABCD los lados que pasan por un punto diagonal están armónicamente separados por las rectas que unen ese punto con los otro dos puntos diagonales.

La propiedad es inmediata, proyectando la cuaterna (P’RDC) desde P sobre AB y desde Q sobre CD, al ser invariante por proyecciones obtenemos (P’RDC) =(P’RCD) que es su inversa. Al no haber en la cuaterna dos puntos iguales ha de ser necesariamente (P’RDC) = ─1. Así pues, (QP’, QR, QD, QC) = ─1.

Punto medio de un segmento: definición proyectiva.

El punto medio del segmento AB es el punto M, tal que si M’ es el punto del infinito de la recta AB, sea ( ABMM’)= ─1

Es evidente que si M es el punto medio de AB, la razón simple MA:MB = ─1. Para que la cuaterna ( ABMM’) sea armónica ha de ser necesariamente AM’ = BM’ lo cual sólo puede ocurrir cuando el punto M’ se encuentre en el infinito. Este hecho es el que motiva la definición.

Haces de rectas. Haces perspectivos.

Dos haces son perspectivos, cuando son proyecciones de los puntos de una misma recta.

Una proyectividad entre dos haces (a, b, c) à (a’, b’, c’) de vértices distintos V, V’, tales que el rayo a = a’ común a ambos haces es homólogo de sí mismo (doble) son perspectivos y los puntos bÇb’, cÇc’, dÇd’, … de intersección de pares homólogos se hallan pues en una recta r que se llama eje perspectivo de los haces.

En efecto, cortando ambos haces con la recta r que une los puntos bÇb’, cÇc’ se obtiene una proyectividad de esa recta en sí misma, con tres puntos dobles, A, B y C y por tanto también serán dobles los demás.

Definición de cónica proyectiva.

Una cónica puntual es el lugar geométrico de los puntos comunes a los pares de rayos homólogos en una homografía entre dos haces no perspectivos.

En la figura tenemos dos haces de centros los puntos P y Q. En el primero se han tomado rectas a, b y c cuyas homólogas en el segundo son las rectas a’, b’ y c’.

La recta m = PQ, que une los centros de los dos haces, considerada como recta del primer haz, no es homóloga de sí misma, pues de serlo, los haces serían perspectivos y la cónica se reduciría al eje perspectivo. Su homóloga es otra recta del segundo haz, m'. E igualmente para la recta n’ =QP, que es la homóloga de una recta n del haz de centro P. El punto de encuentro de m con m' es el punto Q; el punto de encuentro de n con n' es P. Así pues, la cónica definida por los puntos de intersección de dos haces centrados en P y Q contiene también los vértices de esos haces.

De todo esto se concluye que la cónica puntual queda definida conociendo cinco puntos de la misma.

Polar de un punto respecto de una cónica. Triángulos autopolares.

Las rectas de un haz de centro P que no está en la cónica determinan, en general, dos puntos sobre ella. Si estos son A y A’, el cuarto armónico de estos tres, según hemos visto (propiedad del cuadrivértice A’ABB’ ) es el punto A*. Diremos que este punto es el conjugado de P respecto de la cónica.

Se llama polar del punto P respecto de la cónica dada, al lugar geométrico de los conjugados de P respecto de la cónica. Este lugar geométrico es una recta (el eje proyectivo de la involución definida por el punto P).

Si A* es el cuarto armónico de la terna PAA’ podemos decir igualmente que P es el cuarto armónico de la terna AA’A* o bien, que P es el conjugado de A* y por ello, la polar de A* ha de pasar por el punto P. Así pues, la relación de conjugación es simétrica, y por ello si un punto es el polo de una determinada recta (su polar), los puntos de ésta, tienen polares que pasan por su polo.

Lo que acabamos de ver es que el triángulo diagonal de un cuadrivértice sobre una cónica es un triángulo autopolar, es decir, que cada vértice es el polo del lado opuesto, y viceversa, cada lado de este triángulo es la recta polar del vértice opuesto. La polar de P es la recta QJ, la de Q es la recta JP y por último, la de J es la recta PQ.

Diámetros de una cónica. Centro. Diámetros conjugados.

En una cónica cualquiera, se llama centro de la misma al polo de la recta del infinito.

Cualquier recta que pasa por el centro es un diámetro de la cónica por definición.

Cada diámetro corta a la recta del infinito en un punto. La polar de ese punto es otro diámetro, por tratarse de una recta que pasa por el centro, son los llamados diámetros conjugados.

En la figura son diámetros conjugados las rectas d y d’ .

Las rectas AA’, BB’ y el diámetro d son paralelas (se cortan en el mismo punto de la recta del infinito). Si son A*, B* los puntos medios de los segmentos AA’ y BB’, según la definición proyectiva del punto medio de un segmento, se tiene que son armónicas las cuaternas (AA’A*P) y (BB’B*P); por ello, la recta d’ = MN es la polar del punto P y es un diámetro.

De otra parte, si Q está en la polar de P, la polar de Q (pasa por el centro, al estar en el infinito) pasa por P, como queríamos concluir.

En resumen: El diámetro conjugado de uno dado pasa por los puntos medios de las cuerdas paralelas al mismo.

Teorema.- Las diagonales de un paralelogramo inscrito en una cónica son diámetros de la misma; sus lados son paralelos a un par de diámetros conjugados.

Demostración

Las diagonales del paralelogramo concurren en el centro de éste, pero también los puntos medios de los lados paralelos y éstos determinan sendos diámetros conjugados de la cónica. Por tanto, conociendo un paralelogramo inscrito en una cónica, tenemos su centro.

4.-La cónica de los nueve puntos.

Ya estamos en condiciones para abordar el problema que dejamos enunciado en el punto 2.

Demostración

Cinco puntos, hemos visto, sirven para deja completamente determinada una cónica. Si se tiene uno menos, habrá infinitas cónicas que pasen por ellos. Es lo que llamamos un haz de cónicas.

Si se toma una cónica cualquiera del haz de las que pasan por los cuatro puntos P, Q , R y S, la relación polo-polar, implica que las polares de los puntos de m respecto de ella, pasan todas por el polo de m. Como el triángulo diagonal ABC es autopolar (para todas las cónicas del haz) si llamamos A’, B’ a los puntos de encuentro de las rectas BC y AC con m, la polar de B’ respecto de cualquier cónica del haz es una recta que pasa por B. Asimismo la polar de A’ pasa por A. (La figura adjunta representa las polares del punto B’ respecto de tres cónicas del haz ─cada cónica y cada polar del mismo color─).

En consecuencia, el polo de m respecto de cualquier cónica del haz se determina pues, como intersección de las polares de A’ y B’, esto es, de la intersección de una recta que pasa por A con otra recta que pasa por B. Y esto es una cónica: la que se define como los puntos de intersección de dos haces, en este caso, de vértices A y B.

El punto N es la intersección de la polar de los puntos A’ y B’ respecto de la cónica del haz que pasa por el punto 1. Es un punto del lugar geométrico: el polo de m respecto de dicha cónica.

Esta cónica no depende de la elección de los puntos A’, B’ o C’. Bastará con destacar en ella nueve puntos bien definidos, que no dependen de esa elección.

─En cada lado del cuadrivértice PQRS hay uno. Si M es el punto de corte del lado PQ con la recta m, el cuarto armónico M’ de la terna (P Q M) es un punto del lugar geométrico: es el polo de m respecto de alguna cónica del haz cuadrangular: la que pasa por el cuadrilátero y por el punto T, cuarto armónico de (M’ T’ R).

─Los tres puntos del triángulo diagonal A, B y C, pueden ser tomados como vértices de los haces que la definen y por ello, pertenecen a la cónica. (Pueden considerarse como los polos de los tres pares de rectas opuestas del cuadrivértice: cónicas degeneradas del haz.)

Si, en particular, la recta m es la recta impropia o recta del infinito del plano, los polos del lugar geométrico definido son los centros de las cónicas del haz, y el punto del lugar que yace en cada lado es el punto medio del segmento, (su cuarto armónico está en el infinito). En este caso tendríamos este enunciado:

El lugar geométrico de los centros de las cónicas que pasan por los cuatro puntos de un cuadrivértice, es una cónica que pasa por los puntos medios de sus lados y por los tres vértices del triángulo diagonal del mismo.(Cónica de los nueve puntos)

La circunferencia de Euler.

Particularizando aún más la situación: El cuadrivértice queda definido por un triángulo PQR y su ortocentro S, lo que hemos probado es que

El lugar geométrico de los centros de las cónicas que pasan por los tres vértices de un triángulo y su ortocentro es una cónica ─cónica de los 9 puntos─ que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo, por los puntos medios de los segmentos que determinan cada vértice con el ortocentro y por el pie de las tres alturas (vértices del triángulo diagonal).

Además, esta cónica es una circunferencia, llamada circunferencia de Euler o de Feuerbach o de los nueve puntos.

Tenemos el cuadrivértice formado por los puntos PQRS, donde el último es el ortocentro del triángulo determinado por los tres primeros.

La cónica de los nueve puntos correspondiente a esta situación pasa, entre otros, por los puntos medios de los lados del triángulo, ─puntos D, E, F─ ; por los puntos medios de los segmentos que determina el ortocentro con cada vértice, ─puntos T, V, U─ Para concluir que esta cónica es una circunferencia, bastará con demostrar que DEVT y DUVF son dos rectángulos con una diagonal común: DV. De ser así, DV es el diámetro de esta circunferencia, que pasa por seis de los nueve puntos de la cónica. Como una cónica queda determinada con cinco puntos, esta circunferencia es la cónica de los nueve puntos.

El cuadrilátero DEVT es, por el teorema de Varignon, un paralelogramo, pues une los puntos medios del cuadrilátero PQRS. Por la misma razón es un paralelogramo el cuadrilátero DUVF al formarse uniendo los puntos medios de PQSR.

Por otra parte, los segmentos EV y TV son perpendiculares, por ser paralelos a las diagonales QS y PR, que son base y altura del triángulo PQR. Por consiguiente DEVT es un rectángulo. E igualmente con el otro paralelogramo DUVF.