Problema 242

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Sea ABC un triángulo, y AA´, BB´ y CC´ tres cevianas
arbitrarias que concurren en el punto interior del triángulo P´, donde éste no puede
ser el centro de gravedad del triángulo dado.
A´, B´y C´, son sus pies sobre los lados BC, AC y AB, respectivamente.

              Sean los puntos A", B" y C" sobre los lados BC, AC y
AB, respectivamente, tales que :
               CA´=A"B,   AB´= B"C y  AC´= C"B.

               Probar que :
     a)Las cevianas AA", BB" y CC", concurren en un punto P".

     b) Si definimos los puntos

A* como intersección de las rectas C´B" y C"B´,

 B* como intersección de las rectas A´C" y A"C´y,
C* como la intersección de las rectas B´A" y B" A´,

probar que los puntos A* B* C* están alineados y que la recta A*B*C* pasa por los puntos P´y P".

c)  Calculad el cociente de las razones dobles de los
cuatro pares de puntos siguientes:
             (A*,B*,C*,P´)/(A*.,B*.C*.P").

d) ¿Qué sucede si P'=G, centro de gravedad del triángulo?

Romero, J.B (2005): Comunicación personal.