Problema 251

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

  Sea ABC un triángulo. Probar que :
        a) Si la bisectriz interior del ángulo A corta a la base en D,
entonces    AB.AC = AD^2 + BD.DC.
         Enunciar el recíproco y demostrarlo.
        ¿ Qué ocurre si D es un punto de la base BC de un triángulo isósceles ?
    b) Si la bisectriz exterior del ángulo A de un triangulo ABC
corta a BC en D´, entonces  AB.AC = BD´.CD´-AD´^2.
       Hacer las mismas consideraciones de problemas propuestos en a).
        c) Si K es el punto en donde la bisectriz interior del ángulo
A corta al círculo circunscrito al triángulo ABC, probar que :
i)  AK.DK = BK^2.
ii) AB.AC = AK^2-BK^2.
         d) ABC es un triángulo rectángulo en A intersectando la bisectriz en A a su
círculo circuniscrito en K. Probar que  2 AK^2 = (AB+AC)^2.

Anjaneyulu,M.S.R (1964). Elements of Modern Pure Geometry,
Publishing House, Asia.