Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Nueva redacción(4/7/2005) con corrección de alguna interpretación errónea por parte del editor.

Mis disculpas por las posibles molestias causadas.

Sea ABC un triángulo.
Interiormente a él, es decir sobre los
lados adyacentes a ese vértice, se construyen los triángulos
T(A)=AB'C', T(B)= BA''' C''', y T(C)= CA''B'', semejantes al triángulo dado
con
B'y B'' sobre AC,
C' y C''' sobre AB,
y A'' y A''' sobre BC, sin ser puntos medios de los lados del original ninguno de los construidos.

.

Construimos los siguientes puntos definidos por las
intersecciones de los pares de rectas que se indican:
X(A)= B'C''' intersección con B''C';
Y(A) = intersección de las rectas A'' C''' con A'''B'' ;
X(B) = intersección de las rectas A'' C'''con C'A''';
Y(B) = intersección de las rectas A'' B'con B'' C';
X(C) = intersección de las rectas B'' A''' con A'' B',
Y(C) = intersección de las rectas B'C''' con C'A'''.
Probar que :

a) Las rectas X(A)Y(A) ; X(B)Y(B) ; X(C)Y(C) son concurrentes.

A partir de ahora se considera que los triángulos T(A), T(B) y T(C) tienen la misma razón de semejanza respecto a ABC.

b) Las rectas X(A)Y(A) ; X(B)Y(B) ; X(C)Y(C) son concurrentes en el baricentro de ABC
c) Probar que los triángulos X(A)X(B)X(C), Y(A)Y(B)Y(C) , y ABC son semejantes, y encontrar su centro y razón de homotecia.
d) Calcular la razón de las áreas de los hexágonos (o exágonos)
A'' A''' C''' C'B' B''A'' y X(A) Y(B) X(C) Y(A) X(B) Y(C)

Romero, J.B. (2005): Comunicación personal.

Redacción anterior:

Problema 257

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Sea ABC un triángulo.
Interiormente a él, es decir sobre los
lados adyacentes a ese vértice, se construyen los triángulos
T(A)=AB'C', T(B)= BA''' C''', y T(C)= CA''B'',
con
B'y B'' sobre AC,
C' y C''' sobre AB,
y A'' y A''' sobre BC, sin ser puntos medios ninguno de los construidos

semejantes al triángulo dado.

Construimos los siguientes puntos definidos por las
intersecciones de los pares de rectas que se indican:
X(A)= B'C''' intersección con B''C';
Y(A) = intersección de las rectas A'' C''' con A'''B'' ;
X(B) = intersección de las rectas A'' C'''con C'A''';
Y(B) = intersección de las rectas A'' B'con B'' C';
X(C) = intersección de las rectas B'' A''' con A'' B',
Y(C) = intersección de las rectas B'C''' con C'A'''.
Probar que :

a) Las rectas X(A)Y(A) ; X(B)Y(B) ; X(C)Y(C) son concurrentes, en el baricentro de ABC.
b) Probar que los triángulos X(A)X(B)X(C), Y(A)Y(B)Y(C) , y ABC son semejantes, y encontrar su centro y razón de homotecia.
c) Calcular la razón de las áreas de los hexágonos
A'' A''' C''' C'B' B''A'' y X(A) Y(B) X(C) Y(A) X(B) Y(C)

Romero, J.B. (2005): Comunicación personal.