Problema 193

Dado un triángulo ABC, hallar el lugar geométrico del ortocentro cuando A recorre la recta paralela al segmento BC.

Martel, J. (2001): Lugares geométricos relacionados con un triángulo cuyos vértices son puntos de una curva plana cualquiera. En Socas, M., Camacho, M, Morales, A. (Eds). Formación del profesorado e investigación en educación matemática III. Didáctica de las Matemáticas. Departamento de Análisis Matemático. Universidad de La Laguna. (154)

Observando la figura en la que se representa el ortocentro H de un triángulo ABC vemos que:

Considerando ahora B*, el haz de rectas que pasa por B y considerando C*, el haz de rectas que pasa por C; si estudiamos la transformación h*

vemos que h* es una proyección de haces de rectas, ya que la intersección de cada recta con su imagen está sobre una recta fija (la paralela a BC) y por tanto h* es una homografía; lo que significa la relación homográfica

y por tanto de

lo que a su vez significa que existe k*:

siendo k* una homografía entre haces de rectas donde H es la intersección de las rectas homólogas; pero por el teorema de Chasles Steiner sabemos que el lugar geométrico de la intersección de las rectas homólogas en una homografía de haces de rectas ES UNA CONICA. Analizando un poco más la homografía vemos que cuando A→0 las rectas homólogas se cortan en el punto ∞ una vez y por lo tanto la cónica ES UNA PARABOLA.

Tomando un sistema de referencia con eje de abscisas en BC y eje de ordenadas en la mediatriz de BC y si h es la altura fija de la familia de triángulos del problema y BC=a la parábola tiene por ecuación