Dado un triángulo ABC, hallar el lugar geométrico del ortocentro cuando A recorre la recta paralela al segmento BC.

Solución en español de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest

:

Todos los triángulos que los vértices A recorren una recta paralela al lado tienen la misma altura. Sea h la altura de los triángulos .

Consideremos el triángulo con las siguientes coordenadas cartesianas:

La recta que pasa por los puntos A, C tiene ecuación:

La recta perpendicular a r que pasa por el punto B tiene ecuación:

La recta perpendicular al lado que pasa por el punto A tiene ecuación:

El ortocentro del triángulo es la intersección de las rectas s, t. Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que el ortocentro es:

Entonces el ortocentro recorre la parábola:

donde a es el lado y h es la altura del triángulo sobre el lado a.