Propuesto por Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáti cas del IES 1 de Xest (València)
Problema 196 En el triángulo rectángulo ABC , recto en C sea CD una altura. Los círculos de centros P y Q están inscritos en los triángulos ACD y BCD respectivamente. Si AC =15 y BC =20 determine la medida de PQ .
Propuesto en la Olimpiada de Costa Rica
Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona) |
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La ventaja de este problema es que los dos catetos forman parte de una terna pitagórica: 15 = 5x3 y 20 = 5x4 entonces la hipotenusa es 25 = 5x5
Esto hace que el semiperímetro p sea 30 y el radio del círculo inscrito es p-c (= 30-25 = 5) en el triángulo rectángulo en C.
Ahora bien el triángulo ACD corresponderá a la terna pitagórica (3x5, 3x4, 3x3) y el triángulo BCD a (4x5, 4x4, 4x3); es decir, están en las proporciones 3/5 y 4/5 del triángulo original. Esto significa que el radio inscrito del círculo en P es (3/5)x5 = 3 y en Q es (4/5)x5 = 4.
Tomando un sistema de referencia en D y ejes ortogonales AB y CD tenemos según el cálculo anterior:
P = (-3, 3) y Q = (4,4) lo que implica que PQ2 = (4+3)2+(4-3)2 = 50
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