En un triangle rectangle , siga l’altura sobre la hipotenusa.

Els cercles de centre P i Q estan inscrits en els triangles i respectivament.

Si determineu .

Solución en valenciano de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València) (1 de octubre de 2004):

Siga R el punt de tangència de la circumferència de centre P amb el costat . Siga r el seu radi.

Siga S el punt de tangència de la circumferència de centre Q amb el costat . Siga s el seu radi.

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle :

.

L’àrea del triangle és:

, aleshores,

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle :

, .

Per ser la circumferència de centre Q inscrita al triangle :

,

Calculant l’àrea del triangle . Aleshores, .

Per ser la circumferència de centre P inscrita al triangle :

, .

Calculant l’àrea del triangle . Aleshores, .

Considerem el trapezi rectangle URPQ

, ,

Aleshores, .

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle :

.