En un triángulo rectángulo , sea la altura sobre la hipotenusa.

Los círculos de centro P i Q están inscritos en los triángulos i respectivamente.

Si determinar .

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáti cas del IES 1 de Xest (València)(1 de octubre de 2004):

Sea R el punto de tangencia de la circunferencia de centro P con el lado . Sea r el radio.

Sea S el punto de tangencia de la circunferencia de centro Q con el lado . Sea s el radio.

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo :

.

El área del triángulo es:

, entonces,

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo :

, .

Por ser la circunferencia de centro Q inscrita en el triángulo :

,

Calculando el área del triángulo .

Entonces, .

Por ser la circunferencia de centro P inscrita en el triángulo :

, .

Calculando el área del triángulo . Entonces, .

Consideremos el trapecio rectángulo URPQ

, ,

Entonces, .

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo :

.