Problema nº 207.- Es bien conocido que las bisectrices de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos que son proporcionales a los correspondientes lados adjuntos.

Generalizando, consideremos el caso en que los dos segmentos sean proporcionales a los cuadrados de los lados adjuntos.

Tal es el caso de la simediana, que es el simétrico de la mediana respecto a la bisectriz correspondiente al mismo vértice.

Demostrarlo, y una vez demostrado, utilizar tal resultado para obtener el punto de Lemoine, intersección de las tres simedianas.

Yevdokimov, O. (2004) Skills of generalization in learning geometry. ARE THE STUDENTS READY TO USE THEM?

Con permiso de su autor, Oleksiy Yevdokimov, profesor de la Kharkov State Pedagogical University, Ukraine.

Presentado al ICME 10 de Dinamarca.

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca (8 de diciembre de 2004). -

 

 Sea TP la bisectriz del ángulo RTS. Al tomar la recta simétrica de la mediana TT” respecto de la bisectriz, resulta que ésta es también bisectriz del ángulo T” T T’. En consecuencia, la mediana forma con el lado TR un ángulo igual al que forma la simediana con el lado TS. Estas rectas son llamadas isogonales.

 

 

Para demostrar la primera parte utilizaremos:

  1. La razón de las áreas de dos triángulos con la misma altura es igual a la razón de las bases respectivas.
  2. Área del triángulo RST:  Área (RST) = ½ TR · TS · sen T.

 

Veamos en otra figura y con carácter general qué relación hay entre los segmentos determinados sobre el lado opuesto por dos isogonales.

 

Comparando las áreas de los triángulos CB”B  y B’AB por una parte y las de los triángulos  B”AB y  CB’B por otra, tenemos:

 

Dividiéndolas entre sí :

.

En el caso particular en que B” sea el punto medio de AC ésta última relación se simplifica pues B”A = CB” quedando  .      Para el triángulo RST la relación es  que es lo que pretendíamos demostrar.

 

 

 

 

 

 

 

Para las otras dos simedianas se tienen las relaciones             y   .

 

La concurrencia de las tres simedianas en el punto de Lemoine L, se obtiene de inmediato sin  más que aplicar el teorema de Ceva al triángulo en el que se han calculado previamente las tres rectas simedianas:  el producto de las tres razones anteriores vale 1.                   c.q.d.