Problema 210

Dado un triángulo ABC y un triángulo MNP, hallar el triángulo XYZ cuyos vértices se apoyen en los lados de ABC y

cuyos lados pasen por los vértices de MNP .

Pedret, J.M, 2004: Propuesta personal.

Solución de Maite Peña Alcaraz, estudiante de Industriales en la Universidad de Comillas (Madrid). :

Imaginemos que sólo tenemos el triángulo MNP.

Estudiemos el lugar geométrico de todos los triángulos equiláteros cuyos lados pasan por los vértices de MNP.

Se puede ver en la figura Problema 210 1 que los vértices de todos los triángulos equiláteros circunscritos a MNP están sobre los arcos capaces de 60º de los segmentos MN, NP y MP.

Vamos a demostrarlo. Supongamos que hay un triángulo equilátero circunscrito al triángulo MNP cuyo vértice X no está en el arco capaz de MNP. La recta YX tiene que pasar por el punto M y la recta ZX tiene que pasar por el punto N para que el triángulo esté circunscrito. Así que los ángulos ZXY y MXN son iguales e iguales a 60º, por lo que X pertenece a al arco capaz de 60º de MN contra lo que habíamos supuesto.

Así que los posibles triángulos XYZ solución del problema tienen sus vértices sobre los tres arcos capaces que sabemos dibujar. Por tanto una vez que dibujemos los arcos capaces de 60º sobre los tres lados de MNP los únicos posibles vértices de XYZ son los puntos de intersección de estos arcos con los lados del triángulo ABC (Ver la figura Problema 210 2).

Basta trazar los posibles triángulos equiláteros circunscritos a MNP por esos puntos y comprobar si alguno es solución del problema.

Como se ve en la figura Problema 210 3 hay casos en los que el problema no tiene solución (por ejemplo si MNP es más grande que ABC y está fuera de ABC)

En caso de que si tenga, el dibujo queda de la forma de la figura Problema 210 4.