Problema 211 de triánguloscabri

Solución de Francisco Javier García Capitán (dedicada a Jose María Pedret).

El área del triángulo equilátero de lado c es es decir así que conocido S, obtengamos c.

Figura

Supongamos que el rectángulo OACB dado tiene área S. Entonces, hallando los puntos A' y B', simétricos de O respecto A y B, respectivamente, resultará que el rectángulo OA'C'B' tiene área 4S. Para dividir este área por Ö3 tendremos en cuenta que la altura de un triángulo equilátero y la mitad del lado están en la proporción Ö3:1. Entonces, comenzamos por construir el triángulo equilátero OA'D sobre OA' y levantar por O una perpendicular a AA', sobre la que determinamos D' tal que OA' =OD=OD'.
A continuación, trazamos una paralela a A'D por D', que corta a OA en E. Será OE : OA' = OE : OD'=AA' : AD=1/Ö3, por lo que si trazamos la paralela EF a OB', el área de OEFB' será 4S/Ö3.
Lo que queda es hacer la media geométrica c de los segmentos OE y EF. Para ello, como es conocido, obtener el punto G sobre OE tal que EG =EF, trazar la semicircunferencia con diámetro OG y levantar una perpendicular por E, que cortará en H a la semicircunferencia, siendo c=EH la media buscada. En la figura, hemos trazado un triángulo equilátero sobre EH y hemos comprobado con Cabri que tiene la misma área que el rectángulo OACB.