Para el
aula
Propuesto
por Maite Peña Alcaraz, estudiante de Industriales en
Problema
212
Sea el
triángulo ABC rectángulo en A, tracemos los círculos inscrito
y cincunscrito.
Sean M
y N los puntos de tangencia del primero con los lados AB y AC.
Tracemos
la tangente al circunscrito en el punto A.
Esta
tangente y la recta MN se contan en un punto K.
Hallar
la distancia AK, siendo los catetos AB=4m y AC=3m
A.
M. De Ingenieros Aeronáuticos. (1949). Ejercicios Propuestos de
Solución
de Maite Peña Alcaraz, estudiante de Industriales en
:
Coloquemos
el triángulo ABC en los ejes cartesianos de modo que A(0,0),
B(4,0) y C(0,3).
Puesto
que el circuncentro de un triángulo rectángulo está
en el punto medio de la hipotenusa, O(2,1’5).
Por
último, sabiendo que el área de un triángulo S es igual al semiperímetro
p por el radio de la circunferencia inscrita, S=pr;
como el área de este triángulo es 3*4/2=6m2 y el semiperímetro
es (3+4+5)/2=6m, r=1m, y el incentro I tendrá de
coordenadas I(1,1). Así que M=(1,0)
y N=(0,1).
La
tangente por A a la circunferencia circunscrita es
perpendicular al radio AO de la circunferencia, esto es al vector (4,3) y por
tanto tiene por vector director a (–3,4).
Como
pasa por A, la recta tiene la ecuación –3y=4x; y la recta MN tiene por
ecuación:
-y=(x-1).
Haciendo
la intersección entre estas dos rectas conseguimos el punto K(-3,
4), así que la distancia AK es igual a la raíz cuadrada de la suma de las
coordenadas al cuadrado que da 5.