Problema 212

Siga el triangle rectangle   . Li dibuixem els cercles inscrit i circumscrit.

Siguen M i N els punts de tangència del cercle inscrit amb el costats .

Siga la tangent al cercle circumscrit en el punt A.

Aquesta tangent i la recta MN es tallen en el punt K.

Determineu la distància  essent els catets .

Solució de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València) :

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle :

.

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle :

.

Per ser l’angle  semiinscrit al cercle circumscrit mesura la meitat que l’arc que abraça. Per tant:

.

Per ser M i N els punts de tangència del triangle  amb el cercle inscrit:

El triangle  és isòsceles.

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

Aleshores:

.