Problema 212

Problema 731: Sea el triángulo ABC rectángulo en A, tracemos los círculos inscrito y cincunscrito.

Sean M y N los puntos de tangencia del primero con los lados AB y AC.

Tracemos la tangente al circunscrito en el punto A.

Esta tangente y la recta MN se cortan en un punto K.

Hallar la distancia AK, siendo los catetos AB=4m y AC=3m

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València) :

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo :

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Aplicando razones trigonométricas al triángulo rectángulo :

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Por ser el ángulo  semiinscritoo al círculo circunscrito mide la mitad del arco que abarca. Por tanto:

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Por ser M y N los puntos de tangencia del triángulo  con el círculo inscrito:

El triángulo  es isósceles.

Aplicando el teorema de los senos al triángulo :

Entonces:

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