Propuesto
por José Martel Moreno, profesor emérito de
Problema
214
Dado un
triángulo ABC, hallar el lugar geométrico del ortocentro
cuando A recorre una recta no paralela al segmento BC.
Martel, J. (2001): Lugares geométricos relacionados con un triángulo cuyos vértices son puntos de una curva plana cualquiera.
En Socas, M., Camacho, M, Morales, A. (Eds).
Formación del profesorado e investigación en educación matemática III.
Didáctica de las Matemáticas. Departamento de Análisis Matemático. Universidad
de
Solución
Maite Peña Alcaraz, estudiante de Industriales en
Tomemos
el triángulo en los ejes cartesianos de tal modo que A(x,y), B(0,0) y C(1,0).
La
altura de A tiene de ecuación X=x.
La
altura de B es perpendicular al lado AC (de vector director (x-1,y), así que tiene de vector director al vector (y,1-x) y
pasa por B luego su ecuación es (1-x)Y=y(X) y la intersección de estas dos
alturas es el punto
H(x, yx/(1-x)).
Cuando
A está en la recta y=Ax+B, el punto H tiene por
coordenadas:
(x, (Ax2+Bx)/(1-x)),
es decir (x,f(x)) donde la función
f(x)=(Ax2-Bx)/(1-x)= (Ax2-Ax+(A-B)x)/(1-x)=-Ax+(B-A)+(B-A)/(x-1)
que es
una hipérbola.