Problema 214

Proposat per José Martel Moreno, professor emèrit de la Universitat de Las Palmas de Gran Canaria

Donat un triangle  determineu el lloc geomètric de l’ortocentre quan A recorre una recta no paral·lela al segment .

Solució:

Siga la recta    (r no paral·lela al costat )

Siguen el vèrtexs en les següents coordenades:

 (notem que A esta en la recta r).

La recta altura al costat és:

La recta altura al costat  és:

L’ortocentre H és la intersecció d’ambdues rectes:

Per tant el lloc geomètric de l’ortocentre dels triangles  al variar A sobre la recta r recorre la corba:

Que té una asímptota horitzontal en  i una asímptota obliqua

Si fem un estudi de la cònica anterior veurem que és una hipèrbola:

  si  i

  Aleshores la cònica és una hipèrbola.

Suposem que

Aleshores la cònica són dues rectes reals no paral·leles

,  

Anàlogament, si

Suposem que

Aleshores la cònica són dues rectes reals no paral·leles.

Fent el mateix estudi si la recta r és paral·lela a  el lloc geomètric de l’ortocentre és una paràbola.