Problema 215

Sea AD una ceviana cualquiera del triángulo ABC donde D está en el lado BC.
Con centro en D, se construyen las dos circunferencias de radios respectivos, DB, y DC, que denotamos por C1 y C2, respectivamente.

Sean E y F, los puntos donde las circunferencias C1 y C2 intersecan con la circuninscrita C, respectivamente.

Probar que :

1) Los puntos E, F y D están alineados.

2) Hallar el lugar geométrico descrito por los puntos E y F,  respectivamente, cuando D, varía a lo largo del lado BC.

Romero, J.B. (2005): Comunicación personal.

Solución de Maite Peña Alcaraz, estudiante de Industriales en la Universidad de Comillas (Madrid)

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1)      Tomemos una circunferencia C y tracemos en ella un segmento cualquiera BC. Tomemos un punto cualquiera D interior a este segmento y tracemos el segmento OD siendo O el centro de la circunferencia C.

 Tracemos el segmento EF simétrico al BC respecto de OD. Este segmento EF cumple que BD=DE y CD=DF (ya que por simetría los triángulos BDE y FDC son isósceles y semejantes.

Además OD es perpendicular a FC y a BD) Por tanto si partimos del punto D y dibujamos el punto C con la condición de que DB=DE y el F con la condición de que FD=DC lógicamente F.¡, D y C estarán alineados porque EDF es el segmento simétrico de BDC respecto al eje OD (D es un punto fijo por pertenecer al eje de simetría.

2)      El lugar geométrico de los puntos E y F cuando D se traslada de B a C es una cuerda de longitud constante BC cuyo punto E va desde C hasta B.