Para el aula

Propuesto por William Rodríguez Chamache. profesor de geometria de la "Academia integral class" Trujillo- Perú.

Problema 217  

Si ABC es rectángulo y “G” su baricentro calcular la relación PG/PQ,

Rodríguez, W. (2005): Comunicación personal.  

Solución:

Tracemos la altura desde B y una perpendicular a AC por A:

B'GQ es semejante a B'BU por lo que GQ=(1/3) BU. Por otra parte, A'GP es semejante a A'AT por lo que GP=(1/3)AT.

Luego es:PG/PQ = ((1/3) AT)/((1/3) BU) = AT/BU.

Los triángulos CAT y CUB son semejantes, y es: AT/BU= AC/CU.

Por otra parte, AC/CU = (AC AC) /(CU AC) = (AC) (AC) / (CU) (CU + UA)= b b / [(CU) (CU) + (CU)(UA)] {1}.

Al ser AUB y BUC semejantes es AU/BU = BU/CU, por lo que es (CU)(UA)=(BU) (BU).

Llevada tal igualdad a {1}, nos da:

b b / [(CU) (CU) + (CU)(UA)] = b b/ [(CU) (CU) + (BU)(BU)] = b b/ (BC) (BC ) = bb/aa.

Así la relación pedida es PG/PQ = bb/aa.

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas.

Universidad de Sevilla(España)