Problema 217 de triánguloscabri

Si ABC es rectángulo y G es su baricentro calcular la relación PG:GQ.

Rodríguez, W. (2005): Comunicación personal.

Solución de Francisco Javier García Capitán

En la figura hemos representado el triángulo ABC, sus medianas AM y BO, el baricentro G, los puntos P, Q citados en el enunciado y la proyecciones ortogonales K de G sobre BC y H de B sobre AC.

No es difícil hallar explícitamente PG y GQ:

De los triángulos semejantes AHB y ABC obtenemos que BH=(ac)/b y, como G divide a BO de manera que BG:GO=2:1, es GQ = (1/3)·BH=(1/3)(ac)/b.
Usando los triángulos semejantes GKM y ABM, deducimos que GK=(1/3)c. y usando los triángulos semejantes PKG y ABC resulta que PG:GK=b:a, es decir PG=(1/3)(bc)/a.
Por tanto, PG:GQ=(b/a)².