Propuesto por José María Pedret, ingeniero naval (Esplugues de Llobregat, Barcelona)

Problema 218

Sea ABC un triángulo.

Por el pie A' de la altura por A, se trazan las perpendiculares a los lados AB y CA que cortan a las perpendiculares a BC desde B y C en P y Q.

Demostrar que los puntos P y Q están alineados con el ortocentro H del triángulo ABC.

Sidler, JC (2000): Geometrie projective 2ª Edition. Dunod. Paris

Solución Maite Peña Alcaraz, estudiante de Industriales en la Universidad de Comillas (Madrid):

Demos coordenadas a los puntos del triángulo de la siguiente manera:

Sea C=(0,0), B=(b,0) y A=(a,c).

Sea H el ortocentro.

Los triángulos QA’C, AA’C y A’BH son proporcionales por tener los tres un ángulo recto y ser los ángulos CQA’=ACA’=A’HB iguales (HB y QA’ son paralelas).

Por otro lado los triángulos A’PB y AA’B son proporcionales.

Por tanto las coordenadas de P, H y Q se obtienen facilmente aplicando el teorema de Tales a estos triángulos y obtenemos:

P=(b,(b-a)²/c), Q=(0,a²/c) y H=(a,(b-a)a/c), y si sacamos el vector director HP comprobamos que es (b-a)/b veces el director PQ y por tanto queda probado que los vectores son paralelos y por tanto los tres puntos están alineados.