Quincena del 1 al 15 de marzo de 2005

 Propuesto por José María Pedret, ingeniero naval (Esplugues de Llobregat, Barcelona)

Problema 220

Una recta d corta los lados AB, BC, CA de un triángulo ABC en C', A', B' respectivamente.

Sean L la intersección de AA' con BB', M la intersección de BB' con CC' y

N la intersección de CC' con AA'.

Demostrar que las rectas AM, BN y CL son concurrentes.

Sidler, JC (2000): Geometrie projective 2ª Edition. Dunod. Paris. Exercise 2.7

Soluciones de Elisa Lorenzo García IES. Fortuny, Madrid, 2º de Bachillerato :

Es una consecuencia directa del teorema de Desargues.

Llamemos M=A’’, N=B’’, L=C’’.

Si los triángulos ABC y A’’B’’C’’ tienen las rectas AA’’, BB’’, CC’’ concurrentes entonces los puntos de intersección A’, B’ y C’ están alineados.

Como el recíproco es cierto, y sabemos que A’, B’ y C’ están alineados, entonces AA’’, BB’’ y CC’’ son concurrentes.

Otra solución:

Llamaré también M=A’’, N=B’’ y L=C’’.

Sea el triángulo ABC y la recta d que la consideraremos un eje de homología.

Llamamos A’, B’ y C’ los puntos de intersección de BC, AC y AB con el eje de homología. Si A’’ es el transformado de A, entonces B’’ y C’’ por reglas de homología son los transformados de B y C .

Por tanto, también por reglas de homología, AA’’, BB’’ y CC’’ son concurrentes y se cortan en el origen O.