Enunciado del problema

Consideremos un triángulo ABC cualquiera. Sean D y E puntos sobre el lado BC, F y G puntos sobre el lado CA yH y I puntos sobre el lado AB, tal que BD:DE:EC = CF:FG:GA = AH:HI:IB = p:q:r con p+q+r=1, p,q, r > 0.Sean K,L y M los puntos de intersección de las diagonales DG y EH, FI y DG, y EH y FI. Probar que : 
- El área de los cuadriláteros DEFG, FGHI, y HIDE es igual a q veces el área de ABC. 
- Las áreas de los triángulos GHK, IDL y EFM son iguales a k -se hallará- veces el área de ABC. 
- Las áreas de los triángulos DEK, FGL y HIM son iguales a h -se hallará- veces el área de ABC 
- El área del triángulo KLM es igial a l -se hallará-, veces al área de ABC.

Fórmulas necesarias

Como estamos usando Mathematica para resolver el problema, representamos puntos y rectas como ternas {u,v,w} de números. Teniendo en cuenta que {au, av, aw} es equivalente a {u,v,w}, usaremos una función Simplificar para eliminar factores como el a anterior.

Simplificar[{x_, y_, z_}]  :=  
        Factor[{x, y, z}/PolynomialGCD[x, y, z] ];

Usaremos también la misma función Unir para hallar el punto de intersección de dos rectas y para hallar la recta que une dos puntos.

Unir[{x1_, y1_, z1_}, {x2_, y2_, z2_}] :=
Simplificar[{Det[(({{y1, z1}, {y2, z2}}))],-Det[(({{x1, z1}, {x2, z2}}))],Det[(({{x1, y1}, {x2, y2}}))]}]

Finalmente, definimos las funciones que calculan el área de un triángulo y de un cuadrilátero en coordenadas baricéntricas.

AreaTriangulo[{x1_, y1_, z1_}, {x2_, y2_, z2_}, {x3_, 
                y3_, z3_}] :=
Simplify[(1/((x1 + y1 + z1) (x2 + y2 + z2) (x3 + 
                          y3 + z3)))Det[(({{x1, y1, z1}, {x2, y2, z2}, {x3, y3, z3}}))]];
AreaCuadrilatero[ptA_, ptB_, ptC_, 
              ptD_]  := 
Simplify[
              Area[ptA, ptB, ptC]  +  Area[ptA, ptC, ptD] ];

Introducción de datos

Ahora  introducimos directamente las coordenadas de algunos de los puntos que intervienen en el problema:

ptA = {1, 0, 0};
ptB = {0, 1, 0};
ptC = {0, 0, 1};
ptD = {0, q + r, p};
ptE = {0, r, p + q};
ptF = {p, 0, q + r};
ptG = {p + q, 0, r};
ptH = {q + r, p, 0};
ptI = {r, p + q, 0};

Usamos la función Unir para hallar los tres puntos de intersección de las diagonales

ptK = Unir[Unir[ptD, ptG], Unir[ptE, ptH]]
ptL = Unir[Unir[ptF, ptI], Unir[ptD, ptG]]
ptM = Unir[Unir[ptE, ptH], Unir[ptF, ptI]]

Cálculos

Ahora, calculamos las áreas de todos los triángulos y cuadriláteros pedidas en el enunciado.

DEFG = AreaCuadrilatero[ptD, ptE, ptF, ptG]

FGHI = AreaCuadrilatero[ptF, ptG, ptH, ptI]

HIDE = AreaCuadrilatero[ptH, ptI, ptD, ptE]

GHK = Area[ptG,  ptH,  ptK]

IDL = Area[ptI,  ptD,  ptL]

EFM = Area[ptE, ptF, ptM]

DEK = Area[ptD, ptE, ptK]

FGL = Area[ptF, ptG, ptL]

HIM = Area[ptH, ptI, ptM]

KLM  = Area[ptK, ptL, ptM]