Propuesto por José María Pedret, ingeniero naval (Esplugues de Llobregat, Barcelona)

Problema 220.- Una recta d corta los lados AB, BC, CA de un triángulo ABC en C', A', B' respectivamente. Sean L la intersección de AA' con BB', M la intersección de BB' con CC' y N la intersección de CC' con AA'. Demostrar que las rectas AM, BN y CL son concurrentes.

Sidler, JC (2000): Geometrie projective 2ª Edition. Dunod. Paris. Exercise 2.7.

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León de Salamanca (2 de marzo de 2005)

Se trata de probar que los triángulos ABC y MNL son homológicos, lo que resulta de inmediato, basta ver cómo los lados homólogos se cortan en los puntos A’, B’ y C’ de la recta d:

ABÇMN=C’; BCÇNL=A’ y CAÇLM=B’

según el teorema de Desargues (de los triángulos homológicos) los vértices homólogos están alineados con el centro de homología, o sea, las rectas AM, BN y CL son concurrentes como se pretendía demostrar.

Realmente lo que utilizamos es una propiedad de los cuadriláteros completos.

Los tres lados del triángulo junto con la transversal d forman un cuadrilátero completo. En este cuadrilátero los vértices opuestos son los puntos de la forma MM’. Estos puntos forman las líneas diagonales del cuadrilátero completo. La intersección de éstas es el triángulo diagonal. Pues bien, la propiedad que demuestra este problema es que

En un cuadrilátero completo, el triángulo formado por tres de sus lados es homológico al triángulo diagonal, siendo su eje de homología el cuarto lado del cuadrilátero.