Propuesto por Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáti cas del IES 1 de Xest (València)

Problema 222

En la hipotenusa de un triángulo rectángulo, como sobre un lado, se ha construido un cuadrado (fuera del triángulo). El centro del cuadrado está unido con el vértice del ángulo recto del triángulo. ¿En qué segmentos se divide la hipotenusa si los catetos son iguales a 21 y 28 cm?

Gúsiev , V.y otros (1989) "Prácticas para resolver Problemas matemáticos. Geometría" Ed . Mir . Problema 185 pàgina 47

Probleme 222

En la hipotenusa d'un triangle rectangle, com costat s'ha construït un quadrat exterior al triangle. El centre del quadrat està unit amb el vèrtex de l'angle recte del triangle. Amb quins segments ha quedat dividit la hipotenusa si els catets són iguals a 21 cm i 28 cm.

Gúsiev , V.y otros (1989) "Prácticas para resolver Problemas matemáticos. Geometría" Ed . Mir . Problema 185 pàgina 47.

Solución Maite Peña Alcaraz, estudiante de Industriales en la Universidad de Comillas (Madrid):

Por el teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa mide 35cm.

Por otro lado, si consideramos que AB está en el eje X y AC en el eje Y, siendo A=(0,0), B=(21,0) y C=(0,28), tenemos que el centro de un cuadrado sobre la hipotenusa está sobre la bisectriz del primer cuadrante, luego la hipotenusa se divide en dos triángulos ABD y ACD en los que DAB=DAC=45º.

Usando el teorema del seno, como AB=21cm, AC=28cm y DCA=36,867º, queda que CD=20cm y BD=15cm

Una demostración sencilla de que efectivamente el centro del cuadrado se encuentra en la bisectriz del primer cuadrante es por analítica.

El cuadrado de vétices BB’C’C tiene de coordenada C=(0,28) y de coordenada B’=(21+28,21) por ser el triángulo rectángulo formado por los vértices BB’ y B’’ (proyección de B’ sobre el eje X) y ABC iguales.

Por tanto el centro del cuadrado que es el punto medio de C y B’ es el punto (49/2, 49/2), esto es, está en la bisectriz del primer cuadrante.