Problema 224

En el següent dibuix s’acompleix que i el triangle és rectangle i G el seu baricentre. Determineu l’angle .

Propuesto por William Rodríguez Chamache. profesor de geometria de la "Academia integral class" Trujillo- Perú.

Solució de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València) (en valenciano) :

Siga .

Siga la mitjana del triangle rectangle. (la mitjana sobre la hipotenusa d’un triangle rectangle mesura la meitat de la hipotenusa). Aleshores,

, , , , .

Per la propietat del baricentre:

.

Siga , .

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

, aleshores, (1)

Els triangles i són semblants, aleshores:

.

Notem que .

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

, aleshores, (2)

Igualant les expressions (1) i (2):

, resolent l’equació,

Substituint en l’expressió (1):

, aleshores, .