Problema 227 de triánguloscabri

416.Construir un triángulo rectángulo, conociendo la hipotenusa y la bisectriz del ángulo recto..

Problemas Gráficos de Geometría, de Juan Sapiña Borja. Propuesto por Jose María Pedret

Solución de Francisco Javier García Capitán

Análisis:

Supongamos el problema resuelto. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A, y la bisectriz AL del ángulo A se ha prolongado hasta cortar en Q a la circunferencia circunscrita al triángulo. También se ha trazado del diámetro QP.

Los triángulos QPA y QLO son entonces semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común. Llamando x a la distancia LQ y w_a a la bisectriz dada, tendremos:

Construcción:

Una raíz cuadrada de una suma de cuadrados nos lleva al teorema de Pitágoras, y una semisuma nos lleva al punto medio de un segmento.

Por tanto, llegamos a la siguiente construcción:

Fijamos un segmento BC de longitud a.
Construimos el cuadrado BCDE. Sobre la diagonal BD levantamos una perpendiucular BF de longitud w_a.
Prolongamos la hipotenusa DF hasta G de manera que FG sea también de longitud w_a.
Hallamos el punto medio M de DG, y la distancia DM será igual a la distancia QA, por lo que trazando un arco con centro Q y radio DM, obtendremos el punto A.