Problema 229

Se tiene un triángulo ABC y se sabe

que BC =m, la bisectriz BD=n, DA= m+n, <ABD=<DBC=40º. Calcular <BAC.

Del "sitio" turco:

KULUBU (2005): http://www.matematik.kulubu.com/

Solución de Juan Carlos Salazar, profesor de Geometría del Equipo Olímpico de Venezuela.(Puerto Ordaz)

Aplicamos la ley  de senos
triangulo ABD:
sen<ABD/senBAD=AD/BD
sen40º/sena=(m+n)/n ...(1)

triangulo BDC:
sen<BDC/sen<BCD=BC/BD
sen(a+40º)/sen(100º-a)=m/n

Por proporciones:
[sen(40º+a)+sen(100º-a)]/sen(100º-a)=(m+n)/n

2sen70ºcos(30º-a)/sen(100º-a)=(m+n)/n ...(2)

Igualando (1) y (2):

2sen70ºcos(30º-a)/sen(100º-a)=sen40º/sena

2sen70ºcos(30º-a)/sen(100º-a)=2sen20ºcos20º/sena

cos(30º-a)/sen(100º-a)=sen20º/sena

sen a cos(30º-a)=sen(100º-a)sen20º

Cuya solución es a=20º (a=alfa)