Problema 233

Sejam H o ortocentro (interseção das alturas) do triângulo acutângulo ABC e M o ponto médio do lado BC . Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC (que não contém A ) da circunsferência circunscrita a ABC . Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunsferência, distinto de B . Demonstre que XY = BC.

(Traducción del editor)

Sea H el ortocentro del triángulo acutángulo ABC y M el punto medio del lado BC.

Sea X el punto en que la recta HM interseca el arco BC (que no contiene a A) de la

circunferencia circunscrita a ABC.

Sea Y el punto de intersección de la recta BH con la circunferencia distinto de B.

Demostrar que XY = BC.

EUEKA 2, 1998, Sociedade Brasileira de Matemática (pag 229 )

http://www.obm.org.br/eureka/eureka2.pdf

Publicado con permiso de la Olimpiada Brasileira de Matematica

Solución del editor

Hemos de ver que XY=BC. Al ser cuerdas inscritas en la misma circunferencia, los ángulos <XBY y <BAC habán de ser iguales. Ambos tienen en común el ángulo <XBC, luego hemos de ver que los ángulos <CBY y <BAX miden igual. (a) <YBC = 90º-<BCA, al ser BY altura. (b) Sea T el punto medio de HA, y A' el punto medio de BC. TA' es diámetro de la circunferencia de los nueve puntos. Por otra parte, los triángulos HA'T y HXA son semejantes, luego XA es paralelo a A'T y 2A'T=XA. Luego por las propiedades de la circunferencia de los nueve puntos, que tiene de radio 1/2 del de la circunferencia circunscrita, XA es diámetro de la circunferencia circunscrita. Es decir, <ABX=90 Luego <BAX=90-<BXA=90-<BCA. Luego, cqd, es <YBC=<BAX, y por fin, <YBX=<BAC, y YX =BC

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Sevilla