Problema 233 .-

Sejam H o ortocentro (interseção das alturas) do triângulo acutângulo ABC e M o ponto médio do lado BC . Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC (que não contém A ) da circunsferência circunscrita a ABC . Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunsferência, distinto de B . Demonstre que XY = BC.

(Traducción del editor)

Sea H el ortocentro del triángulo acutángulo ABC y M el punto medio del lado BC.

Sea X el punto en que la recta HM interseca el arco BC (que no contiene a A) de la

circunferencia circunscrita a ABC.

Sea Y el punto de intersección de la recta BH con la circunferencia distinto de B.

Demostrar que XY = BC.

EUREKA 2, 1998, Sociedade Brasileira de Matemática (pag 229 )

http://www.obm.org.br/eureka/eureka2.pdf . Publicado con permiso de la Olimpiada Brasileira de Matematica

Solución. Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León de Salamanca-

La demostración pasa por probar que el simétrico del ortocentro respecto del punto medio de un lado está en la circunferencia circunscrita (Esta demostración es inmediata a partir de la circunferencia de los nueve puntos. Esta circunferencia puede obtenerse a partir de la circunscrita por una homotecia de centro el ortocentro y de razón 1/2. Ya vimos en un problema anterior de esta página cómo el simétrico del ortocentro respecto del pie de cada altura está también en la circunferencia circunscrita. Es la misma propiedad que ahora se evoca)

Supongamos que AX* es el diámetro trazado desde el vértice A. Al ser rectos los ángulos ABX* y ACX*, los segmentos BX* y CX* son paralelos a las alturas del triángulo trazadas desde los vértices C y B respectivamente y, en consecuencia, el cuadrilátero BHCX* es un paralelogramo. Sus diagonales, por tanto, se cortan en el punto medio M. Resulta así que el punto X* de la circunferencia circunscrita, distinto de X’, está alineado con HM: es el propio X.

El ángulo YBC es igual al ángulo BCX por alternos internos, y por ellos los segmentos BX e YC son iguales, como también lo son los triángulos YCX y BXC : tienen un lado igual (BX =YC), otro común, CX y un ángulo igual (el que abarca el arco CX), por tanto el tercer lado BC es igual a XY como queríamos demostrar.