Problema 234

Demostrar que si las longitudes de los lados de un triángulo forman una progresión aritmética, el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo y el baricentro de éste están situados en una recta paralela al lado de la longitud intermedia.

Gúsiev , V.y otros (1989) "Prácticas para resolver Problemas matemáticos. Geometría" Ed . Mir . Pàgina 31. (50)

Suloción del editor.

Supongamos dada la estructura geométrica establecida y que 2a=b+c

Tracemos G, barcientro.

Sean B' es el punto medio de AC, F el de AB', H el de B'C, C' el de AB y A' el de CB.

Tracemos las paralelas medias a los triángulos ABB' , C'F, y a CBB', A'H.

Los triángulos AA'G y AGB' son semenjantes, por lo que AG/AA' = AB'/AH'=2/3.

Tracemos la bisectriz del ángulo A, AWa.

Por la propiedad de la bisectriz, es: CWa/AC= BWa/AB=(BWa+BWb)/(AC+AB)=CB/(AB+AC)=a/(c+b)=a/2a=1/2.

Así es CWa=1/2 AC, y WaB=1/2 AB.

Así, el triángulo CB'Wa es isósceles y la bisectriz de ACB es la mediatriz de B'CWa.

De igual manera, el triángulo C'BWa es isóseles y la bisectriz de ABC es la mediatriz C'BWa.

Observemos el triángulo AwaB. Su bisectriz es BI.

Luego por la propiedad de la bisectriz, es AI/IWa = AB/BWa=AB/(Ab/2)=2.

Así, es AI=2IWa, AI/AWa=2/3.

Luego los puntos G I están sobre la recta que resulta de hacer una homotecia de centro A y razón 2/3 de la CB.

Por ello Gi está sobre una recta paralela a CB.

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas.

Universidad de Sevilla.