Problema
234
Demostrar
que si las longitudes de los lados de un triángulo forman una progresión
aritmética, el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo y el
baricentro de éste están situados en una recta paralela al lado de la longitud
intermedia.
Gúsiev , V.y otros (1989) "Prácticas
para resolver Problemas matemáticos. Geometría" Ed . Mir . Pàgina
31. (50)
Problema
234
Si els costats d’un
triangle formen una progressió
aritmètica el centre de la circumferència
inscrita del triangle i el baricentre
d’aquest jauen en una recta
parallela al costat de
mesura intermèdia.
Gúsiev , V.y otros (1989) "Prácticas
para resolver Problemas matemáticos. Geometría" Ed . Mir . Pàgina
31. (50)
Solución
de Maite Peña
Alcaraz, estudiante de Industriales en
Dibujemos el triángulo que tenga como base el lado intermedio.
Puesto así, supongamos que A es el vértice superior, AB es el lado mayor y AC el menor.
El área
del triángulo S=BC*h/2=p*r=3BC*r/2 (siendo p el semiperímetro
del triángulo, por lo que queda probado que h=3r.
Sea D
el punto medio de BC.
Tracemos
por el incentro del triángulo I una paralela al lado
BC que distará de dicho lado una distancia r, y por tanto estará a una altura
1/3.
Por
tanto esta paralela por I a BC cortará a la recta AD en dos segmentos, el de
abajo será 1/3 y el de arriba 2/3 de AD.
Por
tanto el punto de corte es el baricentro de ABC y queda demostrado.