Problema 234

Si els costats d’un triangle formen una progressió aritmètica el centre de la circumferència inscrita del triangle i el baricentre d’aquest jauen en una recta paral·lela al costat de mesura intermèdia.

Gúsiev i altres. “Prácticas para resolver Problemas Matemáticos. Geometría” Problema 50 pàgina 31.

Solució de Ricard Peiró i Estruch:

Siga el triangle  tal que els costats estan en progressió aritmètica,

.

Siga I l’incentre del triangle .

Siga G el baricentre del triangle .

Hem de provar que la distància de I i G al costat  és la mateixa.

Calculem l’àrea del triangle  utilitzant la fórmula d’Heró.

 on .

.

L’àrea del triangle  és  on  és el radi de la circumferència inscrita al triangle.

Aleshores,

.

Aïllant r:

.

L’àrea del triangle és la tercera part del l’àrea del triangle .

Siga  l’altura del triangle .

,    .

Igualant les àrees:

.

Aïllant h:

.

Notem que .

Aleshores distància de I i G al costat  és la mateixa, per tant els punts I, G estan sobre una recta paral·lela al costat .

Amb Cabri:

Figura gusiev50.fig

Applet created on 12/04/05 by Ricard Peiró with CabriJava