Problema 236 de triánguloscabri

358. Construir un triángulo rectángulo conociendo los pies de las tres bisectrices.

Problemas Gráficos de Geometría. Juan Sapiña Borja. Propuesto por Jose María Pedret.

Solución de Francisco Javier García Capitán

En la figura de la derecha mostramos un triángulo rectángulo ABC con sus bisectrices AD, BE y CF.

Si sólo conocemos los puntos D, E y F, podemos determinar el vértice A teniendo en cuenta que:

Desde A se ve EF bajo un ángulo recto, por lo que A estará en la circunferencia de diámetro EF.
Desde A se ve el segmento FD bajo un ángulo de 45º, por lo que A estará también en el arco capaz del segmento FD para el ángulo de 45º.

Ahora determinamos el incentro I teniendo en cuenta que desde I se ve el segmento EF bajo un ángulo de 135º, por lo que I estará en la intersección del arco capaz correspondiente con el segmento AD.

Una vez determinado I, podemos trazar las rectas EI y FI que determinarán con las rectas AF y AE, respectivamente los vértices B y C del triángulo buscado.

Observemos que si D, E, F son puntos cualesquiera del plano no estará asegurado que la recta BC contenga al punto D. En efecto, la construcción anterior será la misma si sustituimos el punto D por cualquier otro punto que esté en la recta AI que hemos obtenido a partir de D, E y F.