Propuesto
por José María Pedret, ingeniero naval (Esplugues de Llobregat,
Barcelona)
Problema
236
358
Construir un triángulo rectángulo conociendo los pies de las tres bisectrices.
Sapiña, J.
(1955): Problemas Gráficos de Geometría,Litograf.
Madrid.
(Juan
Sapiña Borja, Aparejador, Perito Industrial, Profesor )
Solución
de Maite Peña
Alcaraz, estudiante de Industriales en
Construyamos
un triángulo con los tres puntos PQR, suponiendo que P es el pie de la
bisectriz del ángulo A (recto).
Para
hallar el punto A basta trazar una circunferencia de diámetro QR sobre el lado
QR, y hacer la perpendicular a QR que cortará a la circunferencia en S.
SP
corta a la circunferencia en A por la propiedad que dice que la mediatriz de un
lado se corta con la bisectriz del ángulo opuesto en la circunferencia
circunscrita sobre el triángulo QAR.
Por
tanto ya tenemos el vértice A, la recta AB (uniendo AQ) y la recta AC (uniendo
AR).
Para
conseguir los puntos By C se pueden usar varios procedimientos.
Uno de
ellos sería usar el teorema de
Llamando
c al lado AB, b al AC y a al BC tenemos que c/AR=a/(b-AR)
y que b/AQ=a/(c-AQ).
Por
tanto podemos igualar a y obtenemos que (AQ-AR)bc-ARAQ(c-b)=0.
Dividiendo
por bc y llamando x a b/c obtenemos una ecuación de
segundo grado donde x=tgB.
Por
tanto conocido B basta trazar por P una recta que forme con AQ B grados.