Problema 237

Sea el triángulo ABC, por su incentro I se traza una perpendicular a AC que corta en M y N a BC y la prolongación de AB respectivamente.
Si además se cumple que: 1/IM^2 + 1/IN^2 = 1/r^2, donde r = inradio de ABC, probar que <B=90º.

Propuesto por Juan Carlos Salazar, profesor de Geometría del Equipo Olímpico de Venezuela.(Puerto Ordaz).
Salazar, J.C. (2005): Comunicación personal.

Solución de F. Damián Aranda Ballesteros, profesor del IES Blas Infante de Córdoba.

 

Solución:

 

 

 

 

A partir de la existencia de la semejanza entre los siguientes pares de triángulos podemos obtener algunas relaciones de interés:

 

De la semejanza entre los triángulos rectángulos IA’M y CPM, obtenemos que:

 (1)

De la semejanza entre los triángulos rectángulos IC’N y APN, obtenemos que:

 (2)

Elevando al cuadrado ambas expresiones y sumándolas entre sí, obtenemos:

(3),

donde 2s = a + b + c  (perímetro del triángulo ABC).

Como se verifica, según la hipótesis que , lo que equivale a la expresión:

, significa que, según (3):  

 

(s−c)2∙ NA2 + (s−a)2∙ MC2 = NA2∙ MC2

 

Sustituimos las expresiones anteriores por las igualdades:


            NA2 = (s−a)2 + PN2                          y                                  MC2 = (s−c)2 + PM2 

 

(s−c)2∙[(s−a)2 + PN2] + (s−a)2∙[(s−c)2 + PM2] = [(s−a)2 + PN2]∙[(s−c)2 + PM2]

 

Desarrollando, llegamos a:

 

2∙(s−c)2∙(s−a)2 +(s−c)2∙PN2 + (s−a)2∙PM2 = (s−a)2∙(s−c)2 + (s−a)2∙PM2 + (s−c)2∙PN2 + PN2 ∙PM2

 

Esto es,

 

(s−c)2∙(s−a)2 = PN2 ∙PM2

 

O, lo que es lo mismo, (s−c)∙(s−a) = PN ∙PM

;           1= tagA­∙tagC

Esta última condición indica que el ángulo B es de 90º ya que:

 

              A+C= 90º;      B=90º.