Problema 237

Salazar, J.C. (2005): Comunicación personal.

Siga el triangle pel seu incentre I tracem una perpendicular al costat que talla en M i N al costat i a la prolongació del costat , respectivament.

Si a més a més s’acompleix que , on r és l’inradi del triangle , proveu que .

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València) (en valenciano) :

Considerem el triangle . Siguen D, E, F els punts de tangència de la circumferència inscrita i el triangle.

La recta perpendicular al costat passa pel punt de tangència E.

Per hipòtesi de l’enunciat, aquesta recta talla el costat en el punt M, aleshores l’angle és agut.

Els triangles rectangles , són semblants:

.

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle :

.

Els triangles rectangles , són semblants:

.

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle :

.

Per hipòtesi: , aleshores:

.

.

Aleshores, o .

Si , aleshores, , per tant i aleshores, .

Si , aleshores, la qual cosa és absurda ja que C és un angle agut.