Quincena del 1 al 15 de mayo de
2005
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Para el aula Propuesto por Juan Bosco
Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid Problema 238 Sean M y N los puntos medios
tomados sobre dos lados cualesquiera del triángulo, ABC. Sea X un punto variable
elegido en el otro lado. Se pide : a) Demostrar que el triángulo
XMN tiene un área que no depende del punto X, y, que es, 1/4 del área del
triángulo ABC. b) Lugar geométrico descrito
por los baricentros y los circuncentros, respectivamente, cuando X se mueve
sobre el lado en que está situado. Romero J.B. (2005):
Comunicación personal. |
Solución de Maite Peña Alcaraz, estudiante
de Industriales en
:
a)Como M y N son los puntos medios de dos lados, supongamos que los puntos medios de los lados b y c, entonces MN es paralela a BC (por el teorema de Tales). Así que el área de XMN no varía al variar X en BC, es decir, en una paralela a la base, ya que la base y la altura son constantes. En particular cuando X sea el punto medio del lado a, el área valdrá ¼ABC, así que como el área no varía ya está demostrado.
b) El lugar geométrico del baricentro va a ser un segmento paralelo a MN que pasa por el baricentro de ABC. La demostración es que el baricentro va a estar en el punto de corte de las medianas de M y N, y los puntos medios de MX y NX van a estar sobre una recta paralela a MN (por el teorema de Tales). Sabiendo que el baricentro divide a las medianas en dos segmentos de razón 1/3:2/3, va a estar a 1/3 de distancia de MN, esto es a 2/3 de BC, que implica en la recta del baricentro de ABC.
El lugar geométrico del circuncentro va a ser un segmento perpendicular a MN por su punto medio, esto es un segmento de mediatriz de MN que coincide con la de BC. La demostración de esto se basa en que el circuncentro está en la intersección de la mediatriz de MN (que no varía aunque varíe X), y la mediatriz de MX interseca a la otra mediatriz en distintos puntos.