Problema 240

622. Els tres costats d’un triangle estan expressats en metres per tres nombres consecutius. Determineu el radi del cercle inscrit i l’àrea del triangle, sabent que l’angle major és el doble del menor.

MATEMATICA ELEMENTAL (1947) Revista publicada por el instituto Jorge Juan de matemáticas y la Real Sociedad Matemática Española

4ª Serie – Tomo VII nº2 (Ejercicio Propuesto por: Ayudantes de Telecomunicaciones. )

Proposat per Maite Peña Alcaraz, estudiant d’Industrials en la Universidad de Comillas (Madrid).

Solució de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València) :

Siga el triangle , , .

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

, . Simplificant:

.

Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

.

. Simplificant:

. Resolent l’equació:

.

Aleshores els costats del triangle són: .

Calculem l’àrea del triangle utilitzant la fórmula d’Heró:

.

L’àrea del triangle és: on r és el radi de la circumferència inscrita i p el semiperímetre del triangle. Aleshores:

. Resolent l’equació: .