Problema 241
Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa a y la bisectriz del ángulo B.

Sapiña, J. (1955): Problemas Gráficos de Geometría,Litograf. Madrid.
(Juan Sapiña Borja, Aparejador, Perito Industrial, Profesor )
Propuesto por José María Pedret, ingeniero naval (Esplugues de Llobregat, Barcelona)

Solución de F. Damián Aranda Ballesteros, profesor de Matemáticas del IES Blas Infante, Córdoba (España).

Sean conocidos en el triángulo rectángulo dado ABC, la hipotenusa BC y la bisectriz BB’.

Designaremos, como de costumbre, a los lados AB=c, BC=a, CA=b, y al área del triángulo ABC por [ABC].

Por tanto, tenemos que:

[ABC]= 1/2∙a∙c∙senB

[ABC]= [CBB’]+[B’BA]=1/2∙a∙BB’∙sen B/2 + 1/2∙BB’∙c∙sen B/2

En definitiva, igualando las anteriores expresiones, tenemos que:

a∙c∙ senB = BB’∙sen B/2 ∙(a + c )

2∙a∙c∙ sen B/2 ∙ cosB/2 = BB’∙sen B/2 ∙(a + c )

2∙a∙c∙ cosB/2 = BB’∙(a + c )

En definitiva:

Por otro lado, en el triángulo rectángulo BB’A,

Igualando ambas expresiones halladas, resulta la ecuación en c:

En definitiva:

Luego c=AB es la cuarta proporcional entre los segmentos BB’; y 4∙a.

Una vez construido el cateto a, la construcción del triángulo rectángulo es trivial.

CONSTRUCCIÓN DEL SEGMENTO c=AB.

1. Dados los segmentos BB’ y BC=a.
2. Construimos el segmento , como la hipotenusa del triángulo rectángulo e isósceles de lado 2∙a.

3. Construimos el segmento como la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos, y BB’

4. Construimos el segmento BB’+

5. AB= c, es el cuarto proporcional entre los segmentos:
   BB’; y 4∙a.