Problema 245 de triánguloscabri

Sea P un punto interior del triángulo ABC, siendo A₁B₁C₁ su triángulo ceviano. Si trazamos un círculo tangente a BC por A₁ y al circuncirculo (O) de ABC, determinamos el punto de tangencia A₂ situado en el arco que no contiene a A. De manera similar definimos los puntos B₂, C₂.

A) Probar que AA₂, BB₂, CC₂ son concurrentes.
B) Si P es el punto de Gergonne, A₁A₂, B₁B₂ y C₁C₂ son concurrentes

Taller de Olimpiadas de Vietnam (2005). Propuesto por Juan Carlos Salazar.

Solución de Francisco Javier García Capitán

Aquí está la solución del problema, con una introducción previa a las coordenadas baricéntricas y una posterior investigación de otras cuestiones relacionadas con el problema. En particular, A₁A₂, B₁B₂ y C₁C₂ son concurrentes siempre que P esté en la recta GGe, siendo G el baricentro y Ge el punto de Gergonne.

También, algunos applets sobre algunos puntos tratados en el documento anterior:

Construcción de A₂
AA₂, BB₂ y CC₂ son concurrentes.
Si P es cualquier punto de la recta GGe, entonces A₁A₂, B₁B₂ y C₁C₂ son concurrentes.
Construcción de A₃
A₂A₃, B₂B₃ y C₂C₃ siempre son concurrentes.