Problema 254 de triánguloscabri

Construir un triángulo dados un lado a, el radio R de la circunferencia circunscrita y la distancia e entre el punto de intersección de sus alturas y el centro de dicha circunferencia.

Instituto Jorge Juan. Propuesto por Maite Peña Alcaraz

Solución de Francisco Javier García Capitán

Recordemos que la circunferencia de los nueve puntos del triángulo tiene su centro N en el punto medio del segmento OH y que su radio es la mitad del de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Si tenemos en cuenta que la circunferencia de los nueve puntos pasa por el punto medio M del lado dado, su centro estará en una circunferencia de centro M y radio R/2 y por tanto el ortocentro H estará en la circunferencia (Q) resultante de aplicar a dicha circunferencia una homotecia de centro O y razón 2.

El ortocentro H también estará en la circunferencia con centro O y radio OH, que es dado.

Por tanto podemos obtener H como intersección de las dos circunferencias.

El centro Q de una de las circunferencias necesarias podemos hallarlo directamente como el punto simétrico de O respecto del lado BC, por lo que la construcción quedaría simplificada:

1. Fijamos un punto O y trazamos una circunferencia con centro O y radio R.
2. Sobre un punto cualquiera B de esta circunferencia trazamos un arco de radio BC=a (siendo a el lado dado), que determinará el vértice B.
3. Hallamos el punto simétrico Q de O respecto de BC.
4. Trazamos la circunferencia con centro Q que pasa por B (o C), que tendrá radio R.
5. Trazamos la circunferencia con centro O y radio OH.
6. Obtenemos H como intersección de estas dos circunferencias.